Chứng minh \(\dfrac{1}{2+a}+\dfrac{1}{2+b}+\dfrac{1}{2+c}\le1\)
10. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}\ge\dfrac{4a}{a+c}\)
11.Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:
\(\dfrac{ab}{a+b+2c}+\dfrac{bc}{b+c+2a}+\dfrac{ca}{a+c+2b}\le\dfrac{1}{4}\left(a+b+c\right)\)
11/Theo BĐT AM-GM,ta có; \(ab.\frac{1}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)}\le\frac{ab}{4}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)\)\(=\frac{1}{4}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}\right)\)
Tương tự với hai BĐT kia,cộng theo vế và rút gọn ta được đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi a= b=c
Ơ vãi,em đánh thiếu abc dưới mẫu,cô xóa giùm em bài kia ạ!
9/ \(VT=\frac{\Sigma\left(a+2\right)\left(b+2\right)}{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}\)
\(=\frac{ab+bc+ca+4\left(a+b+c\right)+12}{\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+8+abc+\left(ab+bc+ca\right)}\)
\(\le\frac{ab+bc+ca+4\left(a+b+c\right)+12}{\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+9+3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}}\)
\(=\frac{ab+bc+ca+4\left(a+b+c\right)+12}{ab+bc+ca+4\left(a+b+c\right)+12}=1\left(Q.E.D\right)\)
"=" <=> a = b = c = 1.
Mong là lần này không đánh thiếu (nãy tại cái tội đánh ẩu)
10/Thêm \(\frac{b}{a}-2\) ở mỗi vế ta cần chứng minh:
\(\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}+\frac{b}{c}\ge\frac{4a}{a+c}+\frac{b}{a}-2\) (vận dùng đẳng thức \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2=\frac{a^2+b^2-2ab}{ab}=\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\))
\(\Leftrightarrow\frac{c\left(a-b\right)^2+ab^2}{abc}\ge\frac{4a^2+ab+bc-2a\left(a+c\right)}{a\left(a+c\right)}\)
\(\Leftrightarrow\frac{c\left(a-b\right)^2+ab^2}{abc}\ge\frac{2a^2+a\left(b-c\right)+c\left(b-a\right)}{a\left(a+c\right)}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(c\left(a-b\right)^2+ab^2\right)\left(a+c\right)}{abc\left(a+c\right)}-\frac{\left(2a^2+a\left(b-c\right)+c\left(b-a\right)\right)bc}{abc\left(a+c\right)}\ge0\)
Em làm tắt tiếp:v
\(\Leftrightarrow\frac{a\left(ac^2+b^2c+ca^2+ab^2-4abc\right)}{abc\left(a+c\right)}\ge0\)\(\Leftrightarrow\frac{\left(ac^2+b^2c+ca^2+ab^2-4abc\right)}{bc\left(a+c\right)}\ge0\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta được: \(VT\ge\frac{4\sqrt[4]{\left(abc\right)^4}-4abc}{bc\left(a+c\right)}=\frac{0}{bc\left(a+c\right)}=0\)
Ta có Q.E.D.
P/s: Đúng không ta? Mà sao có người tk sai nhỉ?
Cho em hỏi bác pro nào tk sai em xin chỉ ra giúp cho ạ, kiểu này em chẳng biết đường nào để khắc phục lỗi sai đâu.
9. \(8+3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}=12\)? Nhầm rồi kiểm tra lại bài kìa bạn ơi.
10. Làm tắt nhiều quá!
lần sau mà làm tắt thế chắc là chỉ cần viết: " Từ đề bài ta và các bước làm tắt suy ra điều cần chứng minh @@" :))
Cách khác ngắn hơn: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}\ge\frac{4a}{a+c}\Leftrightarrow\frac{ac+b^2}{bc}\ge\frac{4a}{a+c}\Leftrightarrow\left(ac+b^2\right)\left(a+c\right)\ge4abc\)
\(VT=a^2c+b^2a+ac^2+b^2c\ge4\sqrt[4]{a^4b^4c^4}=4.abc\)
11. Đúng rồi bạn nhé!
10
\(VT=\frac{a^2}{ab}+\frac{b^2}{bc}>=\frac{\left(a+b\right)^2}{ab+bc}=\frac{\left(a+b\right)^2}{b\left(a+c\right)}>=\frac{4ab}{b\left(a+c\right)}=\frac{4a}{a+c}\)
=> dpcm
Bài 9 có thể biến lại như sau:
Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
\(\frac{bc}{a^2+2bc}+\frac{ca}{b^2+2ca}+\frac{ab}{c^2+2ab}\le1\)
