a) \(\Delta\) ABC có

AB = AC (gt)

=> \(\Delta\) ABC cân tại A.

AD là đường cao của tam giác ABC (gt)

=> AD cũng là đường trung tuyến của tam giác ABC (tính chất tam giác cân).

=> BD = CD (đpcm).

b)Xét tam giác vuông ADH và tam giác vuông ADK:

AD là cạnh chung.

\(\widehat{HAD}=\widehat{KAD}\) (do AD là phân giác của \(\widehat{BAC}\)).

=> ΔADH = ΔADK (cạnh huyền - góc nhọn).

=> DH = DK (hai cạnh tương ứng) (đpcm).

c)\(\Delta\) ABC có AB = AC (gt) => Tam giác ABC cân tại A.

=> \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)(tính chất tam giác cân).

\(\Delta\) ADH có DH ⊥ AB => \(\widehat{AHD}\)= 90°.

\(\Delta\) ADK có DK ⊥ AC => \(\widehat{AKD}\) = 90°.

Xét \(\Delta\) AHK có:

AH = AK (do ΔADH = ΔADK).

=> Tam giác AHK cân tại A.

=> \(\widehat{AHK}=\widehat{AKH}\)

Mà \(\widehat{AHK}+\widehat{BHD}\) = 180° (kề bù).

\(\widehat{AKH}+\widehat{CKD}\) = 180° (kề bù).

Mặt khác, \(\widehat{BHD}=\widehat{CKD}\) (cùng phụ với \(\widehat{BAD}\)).

=> \(\widehat{AHK}=\widehat{AKH}=\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)

 Xét tứ giác BCHK có:

\(\widehat{AHK}=\widehat{ABC}\) (cmt)

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị.

 => HK // BC (đpcm).

Bài 1: 

a) Thay `x = 1; y = 0` vào A được: 

`A = 3 . 1^3 + 4 . (1-1) +5 .1.0`

`= 3 + 4.0 + 0`

`= 3+0`

`= 3`

b) Thay `x = -1; y = 2` vào A được: 

`A = 3 . (-1)^3 + 4 . (-1-1) +5 .(-1).2`

`= -3 + 4 . (-2) + 10 . (-1) `

`= -3 - 8 - 10`

`= -21`

Bài 2: 

A(x) có nghiệm <=> `4x - 8 = 0`

`<=> x = 8 : 4`

`<=> x = 2`

Vậy ...

B(x) có nghiệm `<=> (x+1)(x-2) = 0`

`<=> x + 1 = 0` hoặc `x - 2 = 0`

`<=> x = -1` hoặc `x = 2`

Vậy ...

bài 1: a. thay x = 1; y = 0 vào A ta được: 

\(A=3\cdot1^3+4\cdot\left(1-1\right)+5\cdot1\cdot0\\ =3\cdot1^3+0+0=3\)

b. thay x = -1; y = 2 vào A ta được:

\(A=3\cdot\left(-1\right)^3+4\cdot\left(-1-1\right)+5\cdot\left(-1\right)\cdot2\\ =-3+\left(-8\right)+\left(-10\right)=-21\)

bài 2: a. 4x - 8 =  0

=> 4x = 8   => x = 2

b. (x - 1)(x - 2) = 0

\(=>\left[{}\begin{matrix}x+1=0=>x=-1\\x-2=0=>x=2\end{matrix}\right.\)

Bài 1: 

a) Thay `x = 1; y = 0` vào A được: 

`A = 3 . 1^3 + 4 . (1-1) +5 .1.0`

`= 3 + 4.0 + 0`

`= 3+0`

`= 3`

b) Thay `x = -1; y = 2` vào A được: 

`A = 3 . (-1)^3 + 4 . (-1-1) +5 .(-1).2`

`= -3 + 4 . (-2) + 10 . (-1) `

`= -3 - 8 - 10`

`= -21`

Bài 2: 

A(x) có nghiệm <=> `4x - 8 = 0`

`<=> x = 8 : 4`

`<=> x = 2`

Vậy ...

B(x) có nghiệm `<=> (x+1)(x-2) = 0`

`<=> x + 1 = 0` hoặc `x - 2 = 0`

`<=> x = -1` hoặc `x = 2`

Vậy ...

bài 1: a. thay x = 1; y = 0 vào A ta được: 

\(A=3\cdot1^3+4\cdot\left(1-1\right)+5\cdot1\cdot0\\ =3\cdot1^3+0+0=3\)

b. thay x = -1; y = 2 vào A ta được:

\(A=3\cdot\left(-1\right)^3+4\cdot\left(-1-1\right)+5\cdot\left(-1\right)\cdot2\\ =-3+\left(-8\right)+\left(-10\right)=-21\)

bài 2: a. 4x - 8 =  0

=> 4x = 8   => x = 2

b. (x - 1)(x - 2) = 0

\(=>\left[{}\begin{matrix}x+1=0=>x=-1\\x-2=0=>x=2\end{matrix}\right.\)

`A(x) = (2x-1)(x+5) ` có nghiệm khi: 

`A(x) = 0 => (2x-1)(x+5) = 0`

`=> 2x -1 = 0` hoặc `x + 5 = 0`

`=> x = 1/2` hoặc `x = -5`

Vậy ...

----------------------------

`B(x) = (3-x)(2x+6)` có nghiệm khi: 

`B(x) = 0 => (3-x)(2x+6) = 0`

`=> 3-x = 0` hoặc `2x + 6 = 0`

`=> x = 3` hoặc `x = -3`

Vậy ...

a) Ta có :(2x - 1)(x + 5) = 0

2x - 1 = 0 => 2x = 1 => x = \(\dfrac{1}{2}\)

x + 5 = 0 => x = -5

Vậy, nghiệm của A(x) là x = \(\dfrac{1}{2}\) và x = -5.

b) Ta có: (3 - x)(2x + 6) = 0

3 - x = 0 => x = 3

2x + 6 = 0 => 2x = -6 => x = -3

Vậy, nghiệm của B(x) là x = 3 và x = -3.

a: Xét ΔMAB và ΔMEC có

MA=ME

\(\widehat{AMB}=\widehat{EMC}\)(hai góc đối đỉnh)

MB=MC

Do đó: ΔMAB=ΔMEC

b: Xét ΔBHA vuông tại H và ΔBHF vuông tại H có

BH chung

HA=HF

Do đó: ΔBHA=ΔBHF

=>BA=BF

mà BA=EC(ΔMAB=ΔMEC)

nên BF=EC

c: Xét ΔCHA vuông tại H và ΔCHF vuông tại H có

CH chung

HA=HF

Do đó: ΔCHA=ΔCHF

=>CA=CF

Xét ΔMAC và ΔMEB có

MA=ME

\(\widehat{AMC}=\widehat{EMB}\)(hai góc đối đỉnh)

MC=MB

Do đó: ΔMAC=ΔMEB

=>AC=EB

mà CA=CF

nên EB=CF

Xét ΔECB và ΔFBC có

EC=FB

BC chung

EB=FC

Do đó: ΔECB=ΔFBC

=>\(\widehat{ECB}=\widehat{FBC}\)

=>ΔKBC cân tại K

=>KB=KC

=>K nằm trên đường trung trực của BC(1)

ΔECB=ΔFBC

=>\(\widehat{EBC}=\widehat{FCB}\)

=>\(\widehat{IBC}=\widehat{ICB}\)

=>IB=IC
=>I nằm trên đường trung trực của BC(2)

Ta có: MB=MC

=>M nằm trên đường trung trực của BC(3)

Từ (1),(2),(3) suy ra K,I,M cùng thuộc đường trung trực của BC

=>KI\(\perp\) BC

mà AF\(\perp\)BC

nên KI//AF

Vì a và b tỉ lệ nghịch với 3 và 2:

\(a .3 = b .2\)

Hay: \(a=\dfrac{2}{3}b\)

Vì b và c tỉ lệ thuận với 4 và 5:

\(c=\dfrac{5}{4}b\)

Thay a = \(\dfrac{2}{3}\).b và c =\(\dfrac{5}{4}\).b vào phương trình \(2a + 3b - 4c = 1002\), ta được:

2.\(\dfrac{2}{3}\). b + 3b - 4.\(\dfrac{5}{4}\).b = 1002

\(\dfrac{4}{3}\). b + 3b - 5b = 1002

(\(\dfrac{4}{3}\) + 3 - 5)  b = 1002

(\(\dfrac{4}{3}\) - 2).b = 1002

(\(-\dfrac{2}{3}\)) . b = 1002

b = 1002 . (\(-\dfrac{3}{2}\))

b = -1503

a = \(\dfrac{2}{3}\). b = \(\dfrac{2}{3}\). (-1503) = -1002

c = \(\dfrac{5}{4}\). b = \(\dfrac{5}{4}\) .(-1503) = -1878.75

Khi x=7 thì \(\left(7^2-4\right)\cdot F\left(7\right)=\left(7-7\right)\cdot F\left(7-3\right)\)

=>\(45\cdot F\left(7\right)=0\cdot F\left(4\right)=0\)

=>F(7)=0

=>x=7 là nghiệm của F(x)

Khi x=-2 thì \(\left[\left(-2\right)^2-4\right]\cdot F\left(-2\right)=\left(-2-7\right)\cdot F\left(-2-3\right)\)

=>\(-9\cdot F\left(-5\right)=0\cdot F\left(-2\right)=0\)

=>F(-5)=0

=>x=-5 là nghiệm của F(x)

Khi x=2 thì ta có: \(\left(2^2-4\right)\cdot F\left(2\right)=\left(2-7\right)\cdot F\left(2-3\right)\)

=>\(-5\cdot F\left(-1\right)=F\left(2\right)\cdot0=0\)

=>F(-1)=0

=>x=-1 là nghiệm của F(x)

Do đó: F(x) có ít nhất 3 nghiệm

Bài 5:

a: \(x^2>=0\forall x\)

=>\(F\left(x\right)=x^2+2023>=2023>0\forall x\)

=>F(x) không có nghiệm

b: \(\left(x+5\right)^2>=0\forall x\)

=>\(G\left(x\right)=\left(x+5\right)^2+2024>=2024>0\forall x\)

=>G(x) không có nghiệm

c: \(x^4>=0\forall x\)

\(3x^2>=0\forall x\)

Do đó: \(x^4+3x^2>=0\forall x\)

=>\(H\left(x\right)=x^4+3x^2+12>=12>0\forall x\)

=>H(x) không có nghiệm

d: \(3x^6>=0\forall x\)

\(8x^4>=0\forall x\)

Do đó: \(3x^6+8x^4>=0\forall x\)

=>\(R\left(x\right)=3x^6+8x^4+20>=20>0\forall x\)

=>R(x) không có nghiệm

Bài 6:

a: F(x) có hai nghiệm là 1 và 3

=>\(\left\{{}\begin{matrix}F\left(1\right)=0\\F\left(3\right)=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}1^3-a\cdot1^2-9\cdot1+b=0\\3^3-a\cdot3^2-9\cdot3+b=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}1-a-9+b=0\\27-9a-27+b=0\\\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=a+8\\-9a+b=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}b=a+8\\-9a+a+8=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-8a=-8\\b=a+8\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=1+8=9\end{matrix}\right.\)

b: Khi a=1;b=9 thì \(F\left(x\right)=x^3-x^2-9x+9\)

Đặt F(x)=0

=>\(x^3-x^2-9x+9=0\)

=>\(x^2\left(x-1\right)-9\left(x-1\right)=0\)

=>\(\left(x-1\right)\left(x^2-9\right)=0\)

=>(x-1)(x-3)(x+3)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}x-1=0\\x-3=0\\x+3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=3\\x=-3\end{matrix}\right.\)

Vậy: Nghiệm còn lại của F(x) là x=-3

Bài 3:

a: F(x) có nghiệm là 1

=>F(1)=0

=>\(m\cdot1^3+1^2+1+1=0\)

=>m+3=0

=>m=-3

b: G(x) có nghiệm là 1

=>G(1)=0

=>\(1^4+m^2\cdot1^3+m\cdot1^2+m\cdot1-1=0\)

=>\(m^2+2m=0\)

=>m(m+2)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}m=0\\m+2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=-2\end{matrix}\right.\)

c: H(x) có nghiệm là -3

=>H(-3)=0

=>\(\left(-3\right)^3-2\cdot\left(-3\right)^2+m=0\)

=>-27-18+m=0

=>m=45

Bài 4:

a: \(A\left(x\right)=-2x^3+3x+4x^2+5x^5+6-4x^4\)

\(=5x^5-4x^4-2x^3+4x^2+3x+6\)

\(B\left(x\right)=2x^4-x+3x^2-2x^3+\dfrac{1}{4}-x^5\)

\(=-x^5+2x^4-2x^3+3x^2-x+\dfrac{1}{4}\)

b: \(A\left(x\right)=5x^5-4x^4-2x^3+4x^2+3x+6\)

Bậc là 5; Hệ số cao nhất là 5; Hệ số tự do là 6

\(B\left(x\right)=-x^5+2x^4-2x^3+3x^2-x+\dfrac{1}{4}\)

Bậc là 5; Hệ số cao nhất là -1; Hệ số tự do là 1/4

c: \(A\left(-1\right)=5\cdot\left(-1\right)^5-4\cdot\left(-1\right)^4-2\cdot\left(-1\right)^3+4\cdot\left(-1\right)^2+3\cdot\left(-1\right)+6\)

\(=-5-4+2+4-3+6\)

=-9+6-3+6

=-12+12

=0

=>x=-1 là nghiệm của A(x)

\(B\left(-1\right)=-\left(-1\right)^5+2\cdot\left(-1\right)^4-2\cdot\left(-1\right)^3+3\cdot\left(-1\right)^2-\left(-1\right)+\dfrac{1}{4}\)

\(=1+2+2+3+1+\dfrac{1}{4}=\dfrac{37}{4}\)

=>x=-1 không là nghiệm của B(x)

Bài 1:

a: \(F\left(x\right)=2x^2-x-1-\left(x^2-5x-4\right)\)

\(=2x^2-x-1-x^2+5x+4\)

\(=x^2+4x+3\)

b: \(F\left(-1\right)=\left(-1\right)^2+4\cdot\left(-1\right)+3=1-4+3=0\)

=>x=-1 là nghiệm của F(x)

\(F\left(-3\right)=\left(-3\right)^2+4\cdot\left(-3\right)+3=9-12+3=0\)

=>x=-3 là nghiệm của F(x)

Bài 2:

a: Đặt F(x)=0

=>\(\dfrac{1}{2}x-3=0\)

=>\(\dfrac{1}{2}x=3\)

=>\(x=3:\dfrac{1}{2}=6\)

b: Đặt G(x)=0

=>\(9x^2-4=0\)

=>\(9x^2=4\)

=>\(x^2=\dfrac{4}{9}\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{2}{3}\\x=-\dfrac{2}{3}\end{matrix}\right.\)

c: Đặt H(x)=0

=>\(\left(3+4x\right)\left(16-25x^2\right)=0\)

=>\(\left(4x+3\right)\left(4x-5\right)\left(4x+5\right)=0\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}4x+3=0\\4x-5=0\\4x+5=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-\dfrac{3}{4}\\x=\dfrac{5}{4}\\x=-\dfrac{5}{4}\end{matrix}\right.\)

d: Đặt Q(x)=0

=>\(\left(27-x^3\right)\left(x^2+5\right)=0\)

mà \(x^2+5>=5>0\forall x\)

nên \(27-x^3=0\)

=>\(x^3=27=3^3\)

=>x=3