a: Xét ΔABC có EF//BC

nên \(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{EF}{BC}\)

=>\(\dfrac{EF}{16}=\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}\)

=>\(EF=16\cdot\dfrac{1}{4}=4\left(cm\right)\)

b: Kẻ EK//AC(K\(\in\)BC)

EK//AC nên EK//CD

Xét ΔMKE và ΔMCD có

\(\widehat{MKE}=\widehat{MCD}\)(hai góc so le trong, EK//CD)

\(\widehat{KME}=\widehat{CMD}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔMKE~ΔMCD
=>\(\dfrac{ME}{MD}=\dfrac{EK}{CD}=\dfrac{EK}{BE}\)

Xét ΔBAC có EK//AC

nên \(\dfrac{EK}{AC}=\dfrac{BE}{BA}\)

=>\(\dfrac{EK}{BE}=\dfrac{AC}{BA}\)

=>\(\dfrac{ME}{MD}=\dfrac{AC}{AB}\)

\(\dfrac{x^3-x}{x^2+1}\cdot\left(\dfrac{1}{x^2-2x+1}+\dfrac{1}{1-x^2}\right)-\dfrac{x^2+x+1}{x^3-1}\\ =\dfrac{x\cdot\left(x^2-1\right)}{x^2+1}\cdot\left[\dfrac{1}{\left(x-1\right)^2}-\dfrac{1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\right]-\dfrac{x^2+x+1}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}\\ =\dfrac{x\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{x^2+1}\cdot\dfrac{\left(x+1\right)-\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)^2\left(x+1\right)}-\dfrac{1}{x-1}\\ =\dfrac{x\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{x^2+1}\cdot\dfrac{2}{\left(x-1\right)^2\left(x+1\right)}-\dfrac{1}{x-1}\\ =\dfrac{2x}{\left(x^2+1\right)\left(x-1\right)}-\dfrac{1}{x-1}\\ =\dfrac{2x-\left(x^2+1\right)}{\left(x^2+1\right)\left(x-1\right)}=\dfrac{-x^2+2x-1}{\left(x^2+1\right)\left(x-1\right)}\\ =-\dfrac{x^2-2x+1}{\left(x^2+1\right)\left(x-1\right)}=\dfrac{-\left(x-1\right)^2}{\left(x^2+1\right)\left(x-1\right)}\\ =-\dfrac{x-1}{x^2+1}=\dfrac{1-x}{x^2+1}\)

Xét tam giác ABC vuông tại A:

Ta có: \(\widehat{BAC}\)= 90^o

Suy ra \(\widehat{ACB}\) = 90° - \(\widehat{B}\).

Xét tam giác DEC:

Do DE \(\perp\) BC tại D, nên \(\widehat{CDE}\) = 90°

Vì AD là phân giác của\(\widehat{A}\), nên \(\widehat{BAD}=\widehat{CAD}\) = 45°.

Trong tam giác vuông ABD, ta có: \(\widehat{ABD}=\widehat{B}\) và \(\widehat{ADB}\)= 90° - \(\widehat{B}\)

Trong tam giác vuông ACD, ta có: \(\widehat{ACD}\) = 90° - \(\widehat{B}\) và \(\widehat{ADC}\) = 90° + \(\widehat{B}\)

Ta có: \(\widehat{EDC}\) = 90° - \(\widehat{ADB}\) = 90° - (90° - \(\widehat{B}\)) = \(\widehat{B}\)

Tam giác DEC có:\(\widehat{CDE}\) = 90° và \(\widehat{EDC}\) = \(\widehat{B}\)

Tam giác ABC có: \(\widehat{BAC}\) = 90° và \(\widehat{ABC}\) = \(\widehat{B}\)

Vậy, \(\Delta DEC\sim\Delta ABC\) (g.g) (hai góc tương ứng bằng nhau).

Bạn xem lại đề bài phần mẫu \(x+3\) hay \(x+1\)

Với `f(x)=5`

`=>5-2x=5`

`<=>x=0`

Với `f(x)=3`

`=>5-2x=3`

`<=>x=1`

Với `f(x)=-1`

`<=>5-2x=-1`

`<=>x=3`

Xét tam giác ABE và tam giác CAD có:

\(\widehat{BAE}\) = \(\widehat{CAD}\) = 90^o

\(\widehat{ABE}\) = \(\widehat{ACD}\) (cùng phụ với \(\widehat{ABC}\))

Vậy tam giác ABE đồng dạng với tam giác CAD (g.g)

=> \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AE}{AD}\) hay \(\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AC}{AE}\)

Xét tam giác ABD và tam giác ACE có:

\(\widehat{BAD}=\widehat{CAE}\) = 90^o

\(\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AC}{AE}\) (cmt)

Vậy tam giác ABD đồng dạng với tam giác ACE (c.g.c)

\(=>\widehat{ADB}=\widehat{AEC}\).

Ta có:

\(\widehat{DAE}\)= 90^o (gt)

\(\widehat{ADF}=\widehat{AEF}\) = 90^o (gt)

\(\widehat{ADB}\widehat{=AEC}\) (cmt)

=> \(\widehat{FDE}\) = 360^o - (90 ^o + 90^o + \(\widehat{ADB}\)) = 180^o - \(\widehat{ADB}\)

Mà \(\widehat{AEC}+\widehat{ADB}\) = 180^o

=> \(\widehat{FDE}=\widehat{AEC}\)

Vậy \(\widehat{FDE}\)= 90^o

Tứ giác AEDF có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật.

Vì DEFG là hình vuông nên \(DE = EF = FG = GD\)

Vì AEDF là hình chữ nhật nên \(AF = DE\)

=> \(AF = DE = EF = FG = GD\).

Xét tam giác CDF và tam giác BDE có:

CD = BD (do tam giác ABC vuông cân tại A)

\(\widehat{CDF}=\widehat{BDE}\) (cùng phụ với góc ADF)

DF = DE (cmt)

Vậy tam giác CDF = tam giác BDE (c.g.c)

=> CF = BE.

Xét tam giác KEF và tam giác IDG có:

EF = DG (do DEFG là hình vuông)

\(\widehat{KEF}=\widehat{IDG}\) = 90^o

FK // DI (\(\perp\) EF)

Vậy tam giác KEF đồng dạng với tam giác IDG

Suy ra \(\dfrac{FK}{DI}=\dfrac{EF}{DG}\) = 1.

Vậy \(FK = DI\)