Question

Tính giá trị của biểu thức \(N=\sqrt{2\left(1+\sqrt{1+\left(\frac{x^8-1}{2x^4}\right)^2}\right)}\) tại \(x=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(2^{\sqrt{2}}-2^{-\sqrt{2}}\right)\)

Answer 1

Ta có : \(1+\left(\frac{x^4-1}{2x^2}\right)^2=\frac{x^8+2x^4+1}{4x^4}\) nên \(1+\sqrt{1+\left(\frac{x^4-1}{2x^2}\right)^2}=1+\frac{x^4+1}{2x^2}=\frac{\left(x^2+1\right)^2}{2x^2}\)

Do đó \(N=\frac{x^2+1}{x\sqrt{2}}\), thay \(x=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(2^{\sqrt{2}}-2^{-\sqrt{2}}\right)\) vào ta được :

\(N=\frac{\frac{1}{2}\left(2^{\sqrt{2}}+2^{-\sqrt{2}}-2\right)+1}{\frac{1}{2}\left(2^{\sqrt{2}}+2^{-\sqrt{2}}\right)}=\frac{2^{2\sqrt{2}}+2^{-2\sqrt{2}}}{2^{\sqrt{2}}+2^{-\sqrt{2}}}\)