Question

Tìm số nguyên tố p để \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{p+1}{2}\\\dfrac{p^2+1}{2}\end{matrix}\right.\) là số chính phương

Answer 1

Giả sử tồn tại x,y nguyên dương thỏa mãn (p+1)/2=x^2 và (p^2+1)/2=y^2

=>p+1=2x^2(1) và p^2+1=2y^2(2)

=>p(p-1)=2(y+x)(y-x)(3)

=>2(y+x)(y-x) chia hết cho p(4)

(1)

=>p là số lẻ và x>1

=>p+1=2x^2=x^2+x^2>x+1

=>p>x

(2) =>y>1

=>p^2+1=2y^2=y^2+y^2>y^2+1

=>p>y

(3) =>y>x

=>0<y-x<p

p là số nguyên tố lẻ

=>(4) =>x=y chia hết cho p

mà 0<x+y<2p

nên x+y=p

=>p-1=2(y-x)

=>x=(p+1)/4; y=(3p-1)/4

Thay p=7 vào thấy thỏa mãn, ta chọn p=7