áp dụng BĐT buniacopxki,ta có:\(\left(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\right)^2\le\left(x^2+y^2\right)\left(1-y^2+1-x^2\right)=\left(x^2+y^2\right)\left(2-\left(x^2+y^2\right)\right)\)
↔\(1\le\left(x^2+y^2\right)\left(2-\left(x^2+y^2\right)\right)\)
Đặt x2+y2=a(a>=0),ta có:\(1\le a\left(2-a\right)\)↔a2-2a+1\(\ge\)0 hay\(\left(a-1\right)^2\ge0\)
dấu = xảy ra khi a=1 do đó x2+y2=1
1) cho a,b,c dương thỏa a+b+c=1 CMR \(\sqrt{\left(ab+c\right)\left(bc+a\right)\left(ac+b\right)}=\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\)
2) cho x,y dương thỏa mãn \(x\sqrt{x}+y\sqrt{y}=x^2+y^2=x^2\sqrt{x}+y^2\sqrt{y}\) .tính tổng x+y
3) ghpt \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+2y^2=2\\3x^2+4xy+4x+3y=y^2-4\end{matrix}\right.\)
4) gpt \(\sqrt{x^2+3}+\dfrac{4x}{\sqrt{x^2+3}}=5\sqrt{x}\)
1)cho pt \(x^2-2\left(m-1\right)x+2m-5=0\)
a) tìm m để pt có nghiệm dương
b)gọi x1,x2 là 2 nghiệm của pt.tìm m nguyên dương để A=\(\left(\frac{x1}{x2}\right)^2+\left(\frac{x2}{x1}\right)^2\) có giá trị nguyên
2) Giải phương trình sau: \(\frac{1}{\left(x-1\right)^2}+\sqrt{3x+1}=\frac{1}{x^2}+\sqrt{x+2}\)
3) tìm cặp (x,y) nguyên sao cho x<y và \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{2012}\)
4)có hay ko số tự nhiên n thỏa \(2012+n^2\) là số chính phương .tìm n
1) cho \(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}=1\) . tính M = \(x^2+y^2\)
2) tìm các cặp x,y thỏa mãn \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)=15\\\left(x-y\right)\left(x^2-y^2\right)=3\end{matrix}\right.\)
3) tìm các cặp x,y nguyên thỏa \(x^6+3x^3+1=y^4\)
Cho hai số x,y thỏa mãn (\(\sqrt{x^2+1}+x\))(\(\sqrt{y^2+1}+y\))=2017
Tính giá trị của M=\(x^{2017}+y^{2017}+2017\)
1) ghpt a)\(\left\{{}\begin{matrix}2x+\dfrac{y}{\sqrt{4x^2+1}+2x}+y^2=0\\4\left(\dfrac{x}{y}\right)^2+2\sqrt{4x^2+1}+y^2=3\end{matrix}\right.\)
b) \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x^2-1\right)y+\left(y^2-1\right)=2\left(xy-1\right)\\4x^2+y^2+2x-y-6=0\end{matrix}\right.\)
2) tìm các số nguyên x,y thỏa mãn \(x^2+y^2-xy=x+y+2\)
3) gpt \(\sqrt{2x^2-x}=2x-x^2\)
Cho x,y là số dương thỏa mãn : x+y =\(\sqrt{10}\) .Tìm GTNN của P = x2 +y2
1) ghpt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}=1\\\sqrt[3]{x-1}+\sqrt[3]{y+1}=1\end{matrix}\right.\)
2) cho a,b \(\ge\)0 thỏa mãn \(a^2+b^2=1\)
tìm Min lẫn Max của P= \(\sqrt{2a+1}+\sqrt{2b+1}\)
a)tìm cặp x,y nguyên dương: \(15x^2-7y^2=9\)
b)cho \(-\frac{3}{2}\le x\le\frac{3}{2};x\ne0\)và \(\sqrt{3+2x}-\sqrt{3-2x}=a\) tính \(P=\frac{\sqrt{6+2\sqrt{9-4x^2}}}{x}\) theo a
c)cho a,b,c là 3 sô dương thỏa mãn \(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}=2\) tìm GTLN của P=abc
(đề này của Q.Ngãi nha)
bài 1, tính
\(\left(\frac{\sqrt{xy}-\sqrt{y}}{\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{xy}-\sqrt{x}}{\sqrt{y}-1}\right)\cdot\left(\sqrt{xy}-\sqrt{y}\right)\)
\(\sqrt{9+4\sqrt{2}}-\sqrt{9-4\sqrt{2}}\)
Cho Q =\(\left(\frac{\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}\right)+\frac{3-\sqrt{x}}{x-1}\)
a, tìm điều kiện để xđinh
b, rút gọn
c, tìm x để Q=2
