Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Đàm Thảo Anh

cho x, y,z>0. chứng minh \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}>=\frac{4}{x+y}\)

Nguyễn Như Nam
4 tháng 11 2016 lúc 20:57

Do x,y>0 => xy>0

Ta có:

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}.\left(x+y\right).xy\ge\frac{4}{x+y}.xy.\left(x+y\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

Ở đây có thể sử dụng bất đẳng thức Cô-si nhưng mà không muốn thì:

\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2\ge4xy\)

\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) ( luôn đúng)

Vậy bất đẳng thức trên là đúng


Các câu hỏi tương tự
Quách Phú Đạt
Xem chi tiết
Quốc Bảo
Xem chi tiết
lê thị tiều thư
Xem chi tiết
Quách Phú Đạt
Xem chi tiết
Neet
Xem chi tiết
Quốc Bảo
Xem chi tiết
Phú Nguyễn
Xem chi tiết
Trần Văn Nhâm
Xem chi tiết
Quốc Bảo
Xem chi tiết