Question

Cho tam giác ECD nhọn nội tiếp (O),2 đường cao CA và DB cắt nhau tại H.

a)C/m t/g ABCD nội tiếp

b) C/m EB.EC=EA.ED

c) Kẻ đường kính EF.C/m EF vuông góc AB

d) Gọi I là trung điểm CD.C/m H,I,F thẳng hàng

Answer 1

a: Xét tứ giác ABCD có \(\widehat{CBD}=\widehat{CAD}=90^0\)

nên ABCD là tứ giác nội tiếp

b: Xét ΔEAC vuông tại A và ΔEBD vuông tại B có

\(\widehat{AEC}\) chung

Do đó: ΔEAC~ΔEBD

=>\(\dfrac{EA}{EB}=\dfrac{EC}{ED}\)

=>\(EA\cdot ED=EB\cdot EC\)

c: Gọi Ex là tiếp tuyến tại E của (O)

=>EF\(\perp\)EF tại E

Xét (O) có

\(\widehat{xED}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến Ex và dây cung ED

\(\widehat{ECD}\) là góc nội tiếp chắn cung ED
Do đó: \(\widehat{xED}=\widehat{ECD}\)

mà \(\widehat{ECD}=\widehat{EAB}\left(=180^0-\widehat{BAD}\right)\)

nên \(\widehat{xED}=\widehat{EAB}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên Ex//BA

ta có: Ex//BA

Ex\(\perp\)EF

Do đó: BA\(\perp\)EF

d: Xét (O) có

ΔECF nội tiếp

EF là đường kính

Do đó: ΔECF vuông tại C

=>FC\(\perp\)EC

mà DH\(\perp\)EC

nên DH//CF

Xét (O) có

ΔEDF nội tiếp

EF là đường kính

Do đó: ΔEDF vuông tại D

=>ED\(\perp\)DF

mà ED\(\perp\)CH

nên CH//DF

Xét tứ giác CHDF có

CH//DF

CF//DH

Do đó: CHDF là hình bình hành

=>CD cắt HF tại trung điểm của mỗi đường

mà I là trung điểm của CD

nên I là trung điểm của HF

=>H,I,F thẳng hàng

Answer 2

a,Xét tứ giác ABCD có:
\(\widehat{CBD}=\widehat{CAD}(=90^o)\)
\(\Rightarrow \)ABCD nội tiếp
b,Xét \(\bigtriangleup EBD\) và \(\bigtriangleup EAC\) có:
\(\widehat{CED}\): chung

\(\widehat{EBD}=\widehat{EAC}(=90^o)\)
\(\Rightarrow \)\(\bigtriangleup EBD = \bigtriangleup EAC(g-g)\)
\(\Rightarrow \)\(\frac{EB}{ED}=\frac{EA}{EC}\)
\(\Rightarrow \)\(EB.EC=EA.ED\)
c,\(\Rightarrow \)\(\frac{EB}{EA}=\frac{ED}{EC}\)
Xét \(\bigtriangleup EBA\) và \(\bigtriangleup EDC\) có:
\(\frac{EB}{EA}=\frac{ED}{EC}\)
\(\widehat{CED}\): chung
\(\Rightarrow \)\(\bigtriangleup EBA = \bigtriangleup EDC(c-g-c)\)
Ta có:\(\widehat{FED}=\widehat{FCD}(=\frac{1}{2}sđ\stackrel\frown{ED})\)
   Mà \(\widehat{EAB} =\widehat{ECD}(\bigtriangleup EBD = \bigtriangleup EAC)\)
\(\Rightarrow \)\(\widehat{FED}+\widehat{EAB}=\widehat{FCD}+\widehat{ECD}=\widehat{ECF}\)
Vì \(\widehat{ECF}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\Rightarrow \) \(\widehat{ECF}=90^o\)
\(\Rightarrow \)\(\widehat{FED}+\widehat{EAB}=90^o\)
\(\Rightarrow \)\(EF\perp AB\)
d,Ta có: \(\widehat{FDE}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn\(\Rightarrow \widehat{FDE}=90^o\)
\(\Rightarrow FD \perp ED\)
Mà \(CA\) là đường cao \(\Rightarrow\) \(CA \perp ED\)
\(\Rightarrow FD // CA\) Hay \(FD // CH\)
Lại có: \(\widehat{ECF}=90^o\)
\(\Rightarrow\)\(EC \perp CF\)

Mà