a: Xét tứ giác ABDC có
M là trung điểm chung của AD và BC
=>ABDC là hình bình hành
Hình bình hành ABDC có \(\hat{BAC}=90^0\)
nên ABDC là hình chữ nhật
b: Xét ΔAED có
H,M lần lượt là trung điểm của AE,AD
=>HM là đường trung bình của ΔAED
=>HM//ED
=>ED⊥AE
c: Xét ΔCHA vuông tại H và ΔCHE vuông tại H có
CH chung
HA=HE
Do đó: ΔCHA=ΔCHE
=>CA=CE
ABDC là hình chữ nhật
=>AC=BD
=>BD=CE
Xét tứ giác BEDC có
DE//BC
BD=EC
Do đó: BEDC là hình thang cân
a) Chứng minh AB ⟂ DC và AB = DC (tức ABDC là hình chữ nhật) Vì M là trung điểm của BC và M cũng là trung điểm của AD, ta có M là trung điểm của cả hai đoạn BC và AD. Điều này cho thấy liên hệ giữa các vectơ: � � ⃗ = � � ⃗ 2 , � � ⃗ = 0 ⃗ , � � ⃗ = � � ⃗ 2 . AM = 2 AD , MM = 0 , BM = 2 BC . Trong tam giác vuông ABC tại A, ta có AB ⟂ AC. Do M là trung điểm của BC, đường thẳng AM là đường phân giác nội nhằm một đặc trưng thú vị: trong tam giác vuông, đường từ đỉnh vuông tới trung điểm cạnh huyền (ở đây cạnh BC) là trực tâm của hình vuông được tạo bởi AB và AC. Tuy nhiên cách viết ở đây dễ gây nhầm lẫn, ta sẽ tiếp cận bằng cách vectơ/định lý về hình bình hành và tích vô hướng. Xét tia DC sao cho M là trung điểm của AD và M cũng là trung điểm của BC. Khi ghép hai đoạn AD và BC có cùng trung điểm M, ta có D và B đối xứng qua M theo một vectơ chung: � � ⃗ = − � � ⃗ . MD =− MB . Điều này có nghĩa: � � → = � � → + � � → = ( � ⃗ − � ⃗ ) + � ⃗ − � ⃗ . DC = DB + BC =( D − B )+ C − B . Tuy nhiên cách làm này phức tạp, ta sẽ dùng một nhận xét trực quan và quen thuộc trong hình học phẳng: Nhận xét quan trọng: Trong một hình bình hành, các cạnh đối song song và bằng nhau. Ta có thể chứng minh rằng ABCD là một hình thoi nội tại khi M là trung điểm của AD và BC và AB ⟂ AC. Tuy nhiên bài toán yêu cầu chứng AB ⟂ DC và AB = DC, tức ABDC là hình chữ nhật (hai cạnh kề vuông và cạnh đối bằng nhau). Vì AB ⟂ AC và M là trung điểm của BC, ta có: Do M là trung điểm của AD, nên AM = MD. Cộng thêm với M là trung điểm của BC, ta có AM ⟂ DC và AB ⟂ DC đồng thời với các tính chất đối xứng quanh M khiến DC vuông góc với AB và có độ dài bằng AB. Cách trình bày gọn hơn (điểm mấu chốt): Vì M là trung điểm của AD và BC, nên M là trung điểm của cả hai đường chéo của hình chữ nhật AB DC giả thiết cần chứng. Nếu ta có AB ⟂ AC và M là trung điểm của BC, ta có: ∠ABC = 90° và ∠ACB = 90° khi mở rộng qua D sao cho AD và BC đối xứng qua M. Từ đó suy ra DC vuông góc với AB và DC = AB. Kết luận: AB ⟂ DC và AB = DC, nên AB DC là hình chữ nhật (hai cạnh đối vuông và cạnh kề bằng nhau). b) Kẻ AH vuông góc với BC. Trên tia AH lấy điểm E sao cho AH = HE. Chứng minh AE ⟂ ED Gọi H là trực tâm của tam giác với HH là đường thẳng vuông góc với BC tại A. Vì AH ⟂ BC và E nằm trên tia AH sao cho AH = HE, ta có H là trung điểm của đoạn AE (vì AH = HE và A, H, E cùng thẳng hàng). Xét tam giác AHE có H là trung điểm của AE và AH ⟂ BC. Vì C, B nằm trên đường vuông góc với AH tại A và D sẽ ở vị trí sao cho MD là trung điểm, ta có các đối xứng về góc: EV (với V là điểm bất kỳ trên ED) sẽ cho thấy AE là tia đối xứng với ED qua đường trung tuyến từ A hoặc qua G, tâm của hình học đồng dạng được tạo bởi AB và DC từ phần (a). Cách ngắn hơn: Do A, H, E thẳng hàng với AH = HE nên H là trung điểm của AE. Gọi F là giao tuyến giữa ED và AH. Trong tam giác đều hoặc vuông tùy trường hợp, đường trung tuyến và đường cao từ A tới ED trùng nhau khi H là trung điểm của AE; vì vậy AE ⟂ ED. c) Tứ giác BCDE là hình gì? Vì sao? Ta biết từ (a) AB ⟂ DC và AB = DC, nên DC song song hoặc vuông góc với AB tùy cấu trúc. Do E nằm trên đường AH vuông góc với BC và AH = HE, ta có AE ⟂ ED từ (b). Xét tứ giác BCDE: các cạnh BC và DE liên hệ qua D và E và BC song song với DE do tính chất đối xứng tại M và A, H. Đồng thời BC ⟂ AB và DE ⟂ AE, dẫn tới BC ∥ DE và BE ∥ CD hoặc AB ∥ CD tùy cấu trúc. Tuy nhiên ở đây, do AB ⟂ DC và AE ⟂ ED, ta có BC ∥ DE và AB ∥ CD (vì AB ⟂ BC và DC ⟂ DE, khi hai cặp cạnh đối diện vuông góc một cách song song, ta có tứ giác BCDE là hình bình hành). Thêm vào đó vì BC = DE (do tính đối xứng qua M và các trung điểm), nên BCDE là hình thoi (hoặc hình bình hành đều có cạnh bằng nhau) tùy cách nhìn nhận. Trong trường hợp này BCDE là hình bình hành có các cạnh đối song song: BC ∥ DE và CD ∥ BE, và do các góc kề bù bằng nhau nên nó là hình thoi. Kết luận: a) AB ⟂ DC và AB = DC, nên AB DC là hình chữ nhật. b) Với AH ⟂ BC và E trên AH sao cho AH = HE, ta có AE ⟂ ED. c) Tứ giác BCDE là hình bình hành; do thêm điều kiện AE ⟂ ED và các quan hệ vuông góc/đối xứng ở các cạnh, nó có thể được nhận diện như hình thoi nếu BC = DE và BE = CD xảy ra từ cấu hình trung điểm qua M và D.
