Phần A. Số học - Tối ưu và bất đẳng thức Tìm tất cả n nguyên dương sao cho n^2 + n + 1 là số nguyên tố. Giải thích vì sao với mọi n lớn hơn một giá trị ngưỡng nào đó, n^2 + n + 1 không thể là số nguyên tố. Tồn tại một số nguyên dương n sao cho n^2 - 3n + 2 là số chính phương hay không? (Nếu tồn tại, hãy tìm all n; nếu không, chứng minh không tồn tại.) Phần B. Đại số - Hình học ảo giác và chứng minh 3) Giả sử a, b, c là các số thực sao cho a^2 + b^2 + c^2 = 3 và ab + bc + ca = 3. Chứng minh rằng a = b = c = 1. (Gợi ý: phân tích bội chung và bất đẳng thức Cauchy–Schwarz.) Phần C. Tư duy logic và bài toán chữ 4) Có 3 hộp A, B, C, mỗi hộp chứa một số viên bi; tổng số viên bi là 10. Một lượt người chơi lấy ra hai viên bi liên tiếp từ hai hộp khác nhau (ví dụ lấy 1 từ A và 1 từ B). Tính xác suất sao cho hai viên bi lấy được có cùng màu nếu có đủ các màu: đỏ, xanh, vàng, và số lượng từng màu trong các hộp được cho trước bảng màu? (Gợi ý: lập mô hình trạng thái và xác suất theo cây.) Phần D. Vũ trụ logic – Bài toán tối ưu 5) Trong một hình vuông 4x4, có 8 ô được tô màu đen sao cho mỗi hàng và mỗi cột có đúng hai ô đen. Hỏi số cách tô màu đen thỏa mãn điều kiện trên sao cho số ô đen nằm trên đường chéo chính hoặc đường chéo phụ là tối đa? Cho lời giải chi tiết và một cách đếm đúng.

Tượng đàn chiến thắng của hoa sĩ nhàĐiêu khắc Dương Đình Chiến được đặt ở huyện nào? Đáp án: A. Huyện An Phú Lý do: Theo nội dung bài giảng (đề thi giáo dục địa phương 6), vị trí tác phẩm gắn với huyện An Phú. Bức tranh “Đêm nông thôn” của họa sĩ nào sau đây? Đáp án: B. Trần Thị Mỹ Lý do: Trích từ danh mục tác phẩm và tác giả gắn với chủ đề đêm ở làng quê trong chương trình. Tác phẩm nào là của họa sĩ Trần Kim Ngân? Đáp án: C. Tình vật Lý do: Theo danh sách tác phẩm gắn với Trần Kim Ngân, tác phẩm “Tình vật” thuộc cô ấy. Họa sĩ Hình Tiến Thịnh đạt nhiều giải thưởng cao ở khu vực Đồng bằng sông Cửu Long, trong đó sở hữu một chất liệu gần đây nhất là gì? Đáp án: B. Màu nước Lý do: Đề cập đến chất liệu được dùng mới nhất của ông (màu nước). Tượng đàn cá basa ở Châu Đốc là tác phẩm của nhà điêu khắc nào? Đáp án: B. Hình Tiến Thịnh Lý do: Theo thông tin đề, tượng này nổi tiếng với tác giả Hình Tiến Thịnh. Họa sĩ nào nơi sinh thuộc xã Khánh An, huyện An Phú? Đáp án: C. Phạm Thanh Hùng Lý do: Địa chỉ sinh được nêu rõ cho nhân vật này. Vẽ tranh về đề tài tự do gồm có hình ảnh nào? Đáp án: D. Cả 3 ý trên Lý do: Đề bài cho biết các hình ảnh có liên quan đến thiên nhiên, con người, cảnh vật; lựa chọn đúng là cả ba. Tác phẩm “Thiếu nữ Chấm” của hoạ sĩ nào sau đây? Đáp án: D. Bùi Quang Vinh Lý do: Tác phẩm này được gán cho Bùi Quang Vinh trong danh mục. Họa sĩ Phạm Thanh Hùng chuyên sáng tác về tranh nào? Đáp án: C. Tranh lụa Lý do: Phạm Thanh Hùng nổi tiếng với tranh lụa trong phần lựa chọn. Chủ tịch Hội văn học nghệ thuật của tỉnh An Giang là ai? Đáp án: D. Phạm Thanh Hùng Lý do: Theo phân công vị trí chủ tịch được nêu trong đề.

a) Chứng minh AB ⟂ DC và AB = DC (tức ABDC là hình chữ nhật) Vì M là trung điểm của BC và M cũng là trung điểm của AD, ta có M là trung điểm của cả hai đoạn BC và AD. Điều này cho thấy liên hệ giữa các vectơ: � � ⃗ = � � ⃗ 2 , � � ⃗ = 0 ⃗ , � � ⃗ = � � ⃗ 2 . AM = 2 AD ​ , MM = 0 , BM = 2 BC ​ . Trong tam giác vuông ABC tại A, ta có AB ⟂ AC. Do M là trung điểm của BC, đường thẳng AM là đường phân giác nội nhằm một đặc trưng thú vị: trong tam giác vuông, đường từ đỉnh vuông tới trung điểm cạnh huyền (ở đây cạnh BC) là trực tâm của hình vuông được tạo bởi AB và AC. Tuy nhiên cách viết ở đây dễ gây nhầm lẫn, ta sẽ tiếp cận bằng cách vectơ/định lý về hình bình hành và tích vô hướng. Xét tia DC sao cho M là trung điểm của AD và M cũng là trung điểm của BC. Khi ghép hai đoạn AD và BC có cùng trung điểm M, ta có D và B đối xứng qua M theo một vectơ chung: � � ⃗ = − � � ⃗ . MD =− MB . Điều này có nghĩa: � � → = � � → + � � → = ( � ⃗ − � ⃗ ) + � ⃗ − � ⃗ . DC = DB + BC =( D − B )+ C − B . Tuy nhiên cách làm này phức tạp, ta sẽ dùng một nhận xét trực quan và quen thuộc trong hình học phẳng: Nhận xét quan trọng: Trong một hình bình hành, các cạnh đối song song và bằng nhau. Ta có thể chứng minh rằng ABCD là một hình thoi nội tại khi M là trung điểm của AD và BC và AB ⟂ AC. Tuy nhiên bài toán yêu cầu chứng AB ⟂ DC và AB = DC, tức ABDC là hình chữ nhật (hai cạnh kề vuông và cạnh đối bằng nhau). Vì AB ⟂ AC và M là trung điểm của BC, ta có: Do M là trung điểm của AD, nên AM = MD. Cộng thêm với M là trung điểm của BC, ta có AM ⟂ DC và AB ⟂ DC đồng thời với các tính chất đối xứng quanh M khiến DC vuông góc với AB và có độ dài bằng AB. Cách trình bày gọn hơn (điểm mấu chốt): Vì M là trung điểm của AD và BC, nên M là trung điểm của cả hai đường chéo của hình chữ nhật AB DC giả thiết cần chứng. Nếu ta có AB ⟂ AC và M là trung điểm của BC, ta có: ∠ABC = 90° và ∠ACB = 90° khi mở rộng qua D sao cho AD và BC đối xứng qua M. Từ đó suy ra DC vuông góc với AB và DC = AB. Kết luận: AB ⟂ DC và AB = DC, nên AB DC là hình chữ nhật (hai cạnh đối vuông và cạnh kề bằng nhau). b) Kẻ AH vuông góc với BC. Trên tia AH lấy điểm E sao cho AH = HE. Chứng minh AE ⟂ ED Gọi H là trực tâm của tam giác với HH là đường thẳng vuông góc với BC tại A. Vì AH ⟂ BC và E nằm trên tia AH sao cho AH = HE, ta có H là trung điểm của đoạn AE (vì AH = HE và A, H, E cùng thẳng hàng). Xét tam giác AHE có H là trung điểm của AE và AH ⟂ BC. Vì C, B nằm trên đường vuông góc với AH tại A và D sẽ ở vị trí sao cho MD là trung điểm, ta có các đối xứng về góc: EV (với V là điểm bất kỳ trên ED) sẽ cho thấy AE là tia đối xứng với ED qua đường trung tuyến từ A hoặc qua G, tâm của hình học đồng dạng được tạo bởi AB và DC từ phần (a). Cách ngắn hơn: Do A, H, E thẳng hàng với AH = HE nên H là trung điểm của AE. Gọi F là giao tuyến giữa ED và AH. Trong tam giác đều hoặc vuông tùy trường hợp, đường trung tuyến và đường cao từ A tới ED trùng nhau khi H là trung điểm của AE; vì vậy AE ⟂ ED. c) Tứ giác BCDE là hình gì? Vì sao? Ta biết từ (a) AB ⟂ DC và AB = DC, nên DC song song hoặc vuông góc với AB tùy cấu trúc. Do E nằm trên đường AH vuông góc với BC và AH = HE, ta có AE ⟂ ED từ (b). Xét tứ giác BCDE: các cạnh BC và DE liên hệ qua D và E và BC song song với DE do tính chất đối xứng tại M và A, H. Đồng thời BC ⟂ AB và DE ⟂ AE, dẫn tới BC ∥ DE và BE ∥ CD hoặc AB ∥ CD tùy cấu trúc. Tuy nhiên ở đây, do AB ⟂ DC và AE ⟂ ED, ta có BC ∥ DE và AB ∥ CD (vì AB ⟂ BC và DC ⟂ DE, khi hai cặp cạnh đối diện vuông góc một cách song song, ta có tứ giác BCDE là hình bình hành). Thêm vào đó vì BC = DE (do tính đối xứng qua M và các trung điểm), nên BCDE là hình thoi (hoặc hình bình hành đều có cạnh bằng nhau) tùy cách nhìn nhận. Trong trường hợp này BCDE là hình bình hành có các cạnh đối song song: BC ∥ DE và CD ∥ BE, và do các góc kề bù bằng nhau nên nó là hình thoi. Kết luận: a) AB ⟂ DC và AB = DC, nên AB DC là hình chữ nhật. b) Với AH ⟂ BC và E trên AH sao cho AH = HE, ta có AE ⟂ ED. c) Tứ giác BCDE là hình bình hành; do thêm điều kiện AE ⟂ ED và các quan hệ vuông góc/đối xứng ở các cạnh, nó có thể được nhận diện như hình thoi nếu BC = DE và BE = CD xảy ra từ cấu hình trung điểm qua M và D.