Phần A. Số học - Tối ưu và bất đẳng thức Tìm tất cả n nguyên dương sao cho n^2 + n + 1 là số nguyên tố. Giải thích vì sao với mọi n lớn hơn một giá trị ngưỡng nào đó, n^2 + n + 1 không thể là số nguyên tố. Tồn tại một số nguyên dương n sao cho n^2 - 3n + 2 là số chính phương hay không? (Nếu tồn tại, hãy tìm all n; nếu không, chứng minh không tồn tại.) Phần B. Đại số - Hình học ảo giác và chứng minh 3) Giả sử a, b, c là các số thực sao cho a^2 + b^2 + c^2 = 3 và ab + bc + ca = 3. Chứng minh rằng a = b = c = 1. (Gợi ý: phân tích bội chung và bất đẳng thức Cauchy–Schwarz.) Phần C. Tư duy logic và bài toán chữ 4) Có 3 hộp A, B, C, mỗi hộp chứa một số viên bi; tổng số viên bi là 10. Một lượt người chơi lấy ra hai viên bi liên tiếp từ hai hộp khác nhau (ví dụ lấy 1 từ A và 1 từ B). Tính xác suất sao cho hai viên bi lấy được có cùng màu nếu có đủ các màu: đỏ, xanh, vàng, và số lượng từng màu trong các hộp được cho trước bảng màu? (Gợi ý: lập mô hình trạng thái và xác suất theo cây.) Phần D. Vũ trụ logic – Bài toán tối ưu 5) Trong một hình vuông 4x4, có 8 ô được tô màu đen sao cho mỗi hàng và mỗi cột có đúng hai ô đen. Hỏi số cách tô màu đen thỏa mãn điều kiện trên sao cho số ô đen nằm trên đường chéo chính hoặc đường chéo phụ là tối đa? Cho lời giải chi tiết và một cách đếm đúng.
