Question

cho tam giác ABC có AD là đường phân giác ( D ϵ BC ). Từ D kẻ DE//AB,           ( E ϵ AC ), DF//AC, ( F ϵ AB ).

a) Tứ giác AEDF là hình gì ? Vì sao ?

b) cm AB.AF = AC.BF

c) cm rằng: Nếu cho BAC = 120độ thì \(\dfrac{1}{AB}\) + \(\dfrac{1}{AC}\) = \(\dfrac{1}{AD}\)

Answer 1

a: Xét tứ giác AEDF có

AE//DF

AF//DE

Do đó: AEDF là hình bình hành

Hình bình hành AEDF có AD là phân giác của góc FAE

nên AEDF là hình thoi

b: Xét ΔABC có AD là phân giác

nên \(\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}\)

Xét ΔABC có DF//AC

nên \(\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{BF}{FA}\)

=>\(\dfrac{BF}{FA}=\dfrac{AB}{AC}\)

=>\(BF\cdot AC=AB\cdot AF\)

c: Xét ΔABC có AD là phân giác

nên \(AD=\dfrac{2\cdot AB\cdot AC}{AB+AC}\cdot cos\left(\dfrac{BAC}{2}\right)\)

=>\(AD=\dfrac{2\cdot AB\cdot AC}{AB+AC}\cdot cos60=\dfrac{AB\cdot AC}{AB+AC}\)

=>\(\dfrac{1}{AD}=\dfrac{AB+AC}{AB\cdot AC}=\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{AC}\)