Cho \(A\left(1;4\right);B\left(-1;5\right);C\left(-5;1\right)\)
a, Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn \(\left|\overrightarrow{MA}-4\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}\right|=2\)
b, Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\)
c, Tìm tọa độ tâm đường tròn nôi tiếp \(\Delta ABC\)
@Nguyễn Việt Lâm
@Akai Haruma
a.
Gọi \(I\left(x;y\right)\) là điểm sao cho \(\overrightarrow{IA}-4\overrightarrow{IB}-2\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\)
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{IA}=\left(1-x;4-y\right)\\\overrightarrow{IB}=\left(-1-x;5-y\right)\\\overrightarrow{IC}=\left(-5-x;1-y\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{IA}-4\overrightarrow{IB}-2\overrightarrow{IC}=\left(5x+15;5y-18\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-3\\y=\frac{18}{5}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow I\left(-3;\frac{18}{5}\right)\)
Khi đó ta có:
\(\left|\overrightarrow{MA}-4\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}\right|=2\)
\(\Leftrightarrow\left|\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}-4\overrightarrow{MI}-4\overrightarrow{IB}-2\overrightarrow{MI}-2\overrightarrow{IC}\right|=2\)
\(\Leftrightarrow\left|-5\overrightarrow{MI}\right|=2\)
\(\Leftrightarrow MI=\frac{2}{5}\)
Vậy tập hợp M là đường tròn tâm \(I\left(-3;\frac{18}{5}\right)\) bán kính \(R=\frac{2}{5}\)
b.
Gọi \(K\left(x;y\right)\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AK}=\left(x-1;y-4\right)\\\overrightarrow{BK}=\left(x+1;y-5\right)\\\overrightarrow{CK}=\left(x+5;y-1\right)\end{matrix}\right.\)
Do K là tâm đường tròn ngoại tiếp nên: \(\left\{{}\begin{matrix}AK=BK\\AK=CK\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AK^2=BK^2\\AK^2=CK^2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)^2+\left(y-4\right)^2=\left(x+1\right)^2+\left(y-5\right)^2\\\left(x-1\right)^2+\left(y-4\right)^2=\left(x+5\right)^2+\left(y-1\right)^2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4x-2y+9=0\\12x+6y+9=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-\frac{3}{2}\\y=\frac{3}{2}\end{matrix}\right.\)
Vậy \(K\left(-\frac{3}{2};\frac{3}{2}\right)\)
c.
Gọi \(J\left(x;y\right)\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
\(\overrightarrow{AB}=\left(-2;1\right);\overrightarrow{AC}=\left(-6;-3\right);\overrightarrow{BC}=\left(-4;-4\right)\)
\(AB=\sqrt{5}\) ; \(AC=3\sqrt{5}\)
Gọi D là chân đường phân giác trong giác A trên BC
\(\Rightarrow\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{1}{3}\Rightarrow DC=3DB\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{DC}=-3\overrightarrow{DB}\)
Gọi \(D\left(x;y\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{DB}=\left(-1-x;5-y\right)\\\overrightarrow{DC}=\left(-5-x;1-y\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-5-x=3\left(-1-x\right)\\1-y=3\left(5-y\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow D\left(1;7\right)\)
J là tâm đường tròn nội tiếp nên J là giao điểm phân giác trong góc A và B
\(\overrightarrow{BD}=\left(2;2\right)\Rightarrow BD=2\sqrt{2}\)
Ta có: \(\frac{JA}{JD}=\frac{AB}{BD}=\frac{\sqrt{10}}{4}\Rightarrow4JA=\sqrt{10}JD\)
\(\Rightarrow4\overrightarrow{JA}=-\sqrt{10}\overrightarrow{JD}\)
\(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{JA}=\left(1-x;4-y\right)\\\overrightarrow{JD}=\left(1-x;7-y\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4\left(1-x\right)=-\sqrt{10}\left(1-x\right)\\4\left(4-y\right)=-\sqrt{10}\left(7-y\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow J\left(1;2\sqrt{10}-1\right)\)
Bạn tự tính toán và kiểm tra lại kết quả
