\(\begin{cases}a^2+b^2+c^2=1\\a^3+b^3+c^3=1\end{cases}\)\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=a^3+b^3+c^3\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-a^3-b^3-c^3=0\)
\(\Leftrightarrow a^2\left(1-a\right)+b^2\left(1-b\right)+c^2\left(1-c\right)=0\)
Mà \(\begin{cases}a^2\left(1-a\right)\\b^2\left(1-b\right)\\c^2\left(1-c\right)\end{cases}\ge0\)Suy ra \(a^2\left(1-a\right)+b^2\left(1-b\right)+c^2\left(1-c\right)\ge0\)
Dấu = khi \(a^2\left(1-a\right)=b^2\left(1-b\right)=c^2\left(1-c\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}a=b=c=0\\a=b=c=1\end{cases}\)
Mà a=b=c=0 thì a2+b2+c2=a3+b3+c3\(\ne1\) (loại)
=>a=b=c=1 <=>T=120+1+12016=1
-->Đpcm
Dễ thấy vai trò của a,b,c là bình đẳng.
Ta có : \(a^2+b^2+c^2=1\) \(\Rightarrow\begin{cases}a\le1\\b\le1\\c\le1\end{cases}\)
Lại có : \(a^2+b^2+c^2=a^3+b^3+c^3\Leftrightarrow a^2\left(1-a\right)+b^2\left(1-b\right)+c^2\left(1-c\right)=0\)
Mặt khác : \(\begin{cases}a^2\left(1-a\right)\ge0\\b^2\left(1-b\right)\ge0\\c^2\left(1-c\right)\ge0\end{cases}\)
Suy ra dấu "=" chỉ xảy ra khi \(\begin{cases}a^2\left(1-a\right)=0\\b^2\left(1-b\right)=0\\c^2\left(1-c\right)=0\end{cases}\)
=> (a;b;c) = (0;0;1) và các hoán vị (vì vai trò của a,b,c bình đẳng)
Từ đó thay vào được điều phải chứng minh đúng.
ngắn hơn thì từ 2 gt
<=>a^2+b^+c^2=a^3+b^3+c^3=1
<=>a=b=c=1 thay vào tính
