Question

cho a,b,c là dộ dài 3 cạnh tam giác ABC, p là nửa chu vi.

cm: \(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

Answer 1

Giải:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}\geq \frac{4}{2p-a-b}=\frac{4}{c}\)

\(\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\geq \frac{4}{2p-b-c}=\frac{4}{a}\)

\(\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\geq \frac{4}{2p-b-c}=\frac{4}{a}\)

Cộng theo vế và thu gọn ta được \(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\geq 2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

Ta có đpcm

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$