Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Hoàn Minh

Cho a, b,c : abc = 1. Chứng minh:

\(\dfrac{a^2b^2}{2a^2+b^2+3a^2b^2}+\dfrac{b^2c^2}{2b^2+c^2+3b^2c^2}+\dfrac{c^2a^2}{2c^2+a^2+3a^2c^2}\le\dfrac{1}{2}\)

 

Nguyễn Việt Lâm
14 tháng 3 2022 lúc 11:22

\(\dfrac{a^2b^2}{2a^2+b^2+3a^2b^2}=\dfrac{a^2b^2}{\left(a^2+b^2\right)+\left(a^2+a^2b^2\right)+2a^2b^2}\le\dfrac{a^2b^2}{2ab+2a^2b+2a^2b^2}=\dfrac{ab}{2\left(1+a+ab\right)}\)

Tương tự và cộng lại;

\(P\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{ab}{1+a+ab}+\dfrac{bc}{1+b+bc}+\dfrac{ca}{1+c+ca}\right)\)

\(P\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{ab}{1+a+ab}+\dfrac{abc}{a+ab+abc}+\dfrac{ab.ca}{ab+abc+ab.ca}\right)\)

\(P\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{ab}{1+a+ab}+\dfrac{1}{a+ab+1}+\dfrac{a}{ab+1+a}\right)=\dfrac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)


Các câu hỏi tương tự
ILoveMath
Xem chi tiết
NinhTuấnMinh
Xem chi tiết
Nguyễn Minh Nhật
Xem chi tiết
ILoveMath
Xem chi tiết
Lee Yeong Ji
Xem chi tiết
hiền nguyễn
Xem chi tiết
Phạm Tuấn Kiệt
Xem chi tiết
Tiến Hoàng Minh
Xem chi tiết
Xem chi tiết