Lời giải:
a) Gọi nghiệm chung của hai PT là \(a\). Có nghiệm chung nghĩa là PT
\(a^2+ma+2-(a^2+2a+m)=0\) phải có nghiệm
\(\Leftrightarrow (a-1)(m-2)=0\)
Do đó nếu hai PT có nghiệm chung thì nghiệm đó là \(a=1\)
Thay vào \(\Rightarrow m+3=0\Rightarrow m=-3\)
b) Để PT \((x^2+mx+2)(x^2+2x+m)=0\) có bốn nghiệm phân biệt thì mỗi PT bậc hai trên phải có hai nghiệm pb.
Trước tiên phải xác định điều kiện có nghiệm\( \left\{\begin{matrix} \Delta _1=m^2-8>0\\ \Delta _2=4-4m>0\end{matrix}\right.\Rightarrow m<-\sqrt{8}\)
PT đã cho không có có bốn nghiệm phân biệt tức là \(x^2+mx+2=0\) và \(x^2+2x+m=0\) không có nghiệm chung, tức là \(m\neq -3\)
Vậy \(\left\{\begin{matrix}m< -\sqrt{8}\\m\ne-3\end{matrix}\right.\)
c) Theo Viet có \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=-m\\ x_1x_2=2\end{matrix}\right.+\left\{\begin{matrix} x_3+x_4=-2\\ x_3x_4=m\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow E=x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=m^2-4+4-2m=m^2-2m=(m-1)^2-1\geq -1\)
Vậy \(E_{\min}=-1\Leftrightarrow m=1\)
