Lời giải:
a) Với \(m=0\) phương trình trở thành:
\((x^2-2x-3)(x^2-2x+3)=0\Leftrightarrow (x-3)(x+1)(x^2-2x+3)=0\)
\(\Rightarrow\left[\begin{matrix}x-3=0\\x+1=0\\x^2-2x+3=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow \) \(\left[\begin{matrix}x=3\\x=-1\\\left(x-1\right)^2+2=0\left(vl\right)\end{matrix}\right.\)
Vậy \(x\in \left\{-1,3\right\}\)
b) Để PT có $4$ nghiệm phân biết thì phương trình \(x^2-2x+2m+3=0\) phải có hai nghiệm phân biệt khác \(-1\) và \(3\)
Tức là \(\left\{\begin{matrix} \Delta' =1-(2m+3)>0\\ 3^2-2.3+2m+3\neq 0\\ (-1)^2-2(-1)+2m+3\neq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m<-1\\ m\neq -3\\ \end{matrix}\right.\)
c) Áp dụng định lý Viet cho PT \(x^2-2x+2m+3=0\) có nghiệm thỏa mãn:\(\left\{\begin{matrix}x_3+x_4=2\\x_3x_4=2m+3\end{matrix}\right.\)
Có \(A=x_1x_2x_3x_4=-3x_3x_4=-3(2m+3)\)
Ta có với mọi \(x_3,x_4\in\mathbb{R}\) thì đều có \(x_3x_4\leq \left(\frac{x_3+x_4}{2}\right)^2=1\)
\(\Rightarrow -3x_3x_4\geq -3\) (khi nhân với số âm thì đổi dấu)
\(\Rightarrow A_{\min }=-3\Leftrightarrow m=-1\)
Câu b với c không liên quan đến nhau phải không? Nếu không thì không tìm được min đâu.
sửa đề: pt \(\left(x^2-2x-3\right)\left(x^2-2x+2m+3\right)=0\)
