Câu hỏi của Nghiêm Phương Linh

Question

Câu 1 
Cho hệ phương trình $\left\{{}\begin{matrix}\left(m-2\right)x-3y=-5\x+my=3\end{matrix}\right.\left(I\right)$  (với m là tham số)

a) Giải hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất với mọi m.Tìm...

Lightning Farron · Accepted Answer

Bài Bất đẳng thức phân thức thứ 2 của tổng P ở phần mẫu sai đềCâu trả lời: Bài Bất đẳng thức phân thức thứ 2 của tổng P ở phần mẫu sai đề

Lightning Farron · Answer

Câu 1:

$\left\{{}\begin{matrix}\left(m-2\right)x-3y=-5\x+my=3\end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m-2\right)\left(3-my\right)-3y=-5\x=3-my\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3m-m^2y-6+2my-3y=-5\x=3-my\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m^2-2m+3\right)y=3m-1\left(1\right)\x=3-my\left(2\right)\end{matrix}\right.$

Ta có: $m^2-2m+3=\left(m-1\right)^2+2>0\forall m$ nên $pt(1)$ có nghiệm duy nhất $\forall m$

Suy ra hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\forall m$

Từ $(1)$ ta có $y=\dfrac{3m-1}{m^2-2m+3}$ thay vào $(2)$ ta có $x=\dfrac{9-5m}{m^2-2m+3}$

Câu 2:

Thay $m=3$ ta có $(d)$:$y=8x-7$

Phương trình hoành độ giao điểm $(P)$ và $(d)$ khi $m=3$ là

$x^2=8x-7\Leftrightarrow x^2-8x+7=0$$\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x_1=1\x_2=7\end{matrix}\right.$

Tọa độ giao điểm $(P)$ và $(d)$ là $(1;1);(7;49)$

b)Xét phương trình hoành độ giao điểm $(P)$ và $(d)$:

$x^2-2(m+1)x+3m-2=0(1)$

$\Delta=m^2+2m+1-3m+2=m^2-m+3=\left(m-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{11}{4}>0\forall m$

Nên pt $(1)$ có hai nghiệm phân biệt $\forall m$

Suy ra $(P)$ và $(d)$ luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt $A,B$ với mọi $m$

c)Ta có $x_1;x_2$ là nghiệm của pt $(1)$ do $\Delta>0\forall m$ theo định lý Vi-ét ta có:

$\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m+2\x_1x_2=3m-2\end{matrix}\right.$

$x^2_1+x_2^2=20\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=20$

Thay vào hệ thức Vi-ét ta có:

$\left(2m+2\right)^2-2\left(3m-2\right)=20\Leftrightarrow2m^2+m-6=0$$\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\m=-\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.$Câu trả lời: Câu 1:

$\left\{{}\begin{matrix}\left(m-2\right)x-3y=-5\x+my=3\end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m-2\right)\left(3-my\right)-3y=-5\x=3-my\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3m-m^2y-6+2my-3y=-5\x=3-my\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m^2-2m+3\right)y=3m-1\left(1\right)\x=3-my\left(2\right)\end{matrix}\right.$

Ta có: $m^2-2m+3=\left(m-1\right)^2+2>0\forall m$ nên $pt(1)$ có nghiệm duy nhất $\forall m$

Suy ra hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\forall m$

Từ $(1)$ ta có $y=\dfrac{3m-1}{m^2-2m+3}$ thay vào $(2)$ ta có $x=\dfrac{9-5m}{m^2-2m+3}$

Câu 2:

Thay $m=3$ ta có $(d)$:$y=8x-7$

Phương trình hoành độ giao điểm $(P)$ và $(d)$ khi $m=3$ là

$x^2=8x-7\Leftrightarrow x^2-8x+7=0$$\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x_1=1\x_2=7\end{matrix}\right.$

Tọa độ giao điểm $(P)$ và $(d)$ là $(1;1);(7;49)$

b)Xét phương trình hoành độ giao điểm $(P)$ và $(d)$:

$x^2-2(m+1)x+3m-2=0(1)$

$\Delta=m^2+2m+1-3m+2=m^2-m+3=\left(m-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{11}{4}>0\forall m$

Nên pt $(1)$ có hai nghiệm phân biệt $\forall m$

Suy ra $(P)$ và $(d)$ luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt $A,B$ với mọi $m$

c)Ta có $x_1;x_2$ là nghiệm của pt $(1)$ do $\Delta>0\forall m$ theo định lý Vi-ét ta có:

$\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m+2\x_1x_2=3m-2\end{matrix}\right.$

$x^2_1+x_2^2=20\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=20$

Thay vào hệ thức Vi-ét ta có:

$\left(2m+2\right)^2-2\left(3m-2\right)=20\Leftrightarrow2m^2+m-6=0$$\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\m=-\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.$

Lightning Farron · Answer

Câu 5:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

$3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2$

$\Rightarrow3\left(2a^2+b^2\right)\ge\left(2a+b\right)^2$. Tương tự cũng có:

$3\left(2b^2+c^2\right)\ge\left(2b+c\right)^2;3\left(2c^2+a^2\right)\ge\left(2c+a\right)^2$

$\Rightarrow P\le\dfrac{1}{2a+b}+\dfrac{1}{2b+c}+\dfrac{1}{2c+a}$

Ta có: $\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\ge9\Rightarrow\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\ge\dfrac{1}{x+y+z}$

$\Rightarrow P\le\dfrac{1}{2a+b}+\dfrac{1}{2b+c}+\dfrac{1}{2c+a}$

$\le\dfrac{1}{9}\left[\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)+\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)+\left(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\right)\right]$

$\Rightarrow P\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{3}{a}+\dfrac{3}{b}+\dfrac{3}{c}\right)=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\left(1\right)$

Lại có:

$10\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)=3\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)+6\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\right)+2015$

$=3\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2+2015\left(2\right)$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

$3\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)\ge\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2$

$\Rightarrow\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)\ge\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2$

$\Rightarrow10\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)\ge10\cdot\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2\left(3\right)$

Từ $(2)$ và $(3)$ $\Rightarrow3\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2+2015\ge10\cdot\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2$

$\Rightarrow2015\ge10\cdot\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2-3\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2$

$\Rightarrow\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2\le3\cdot2015\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\le\sqrt{3\cdot2015}=\sqrt{6045}\left(4\right)$

Từ $(1)$ và $(4)$$\Rightarrow P\le\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\le\dfrac{1}{3}\cdot\sqrt{6045}=\dfrac{\sqrt{6045}}{3}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\dfrac{3}{\sqrt{6045}}$

P/s:Bài hình cậu tự làm nhé, vì hình mình dốt lắm khi nào bí quá bí thì hãy hỏi nhé, bài Bất Đẳng Thức mình vẫn còn 1 cách nữa cần sẽ cung cấp thêm !!Câu trả lời: Câu 5:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

$3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2$

$\Rightarrow3\left(2a^2+b^2\right)\ge\left(2a+b\right)^2$. Tương tự cũng có:

$3\left(2b^2+c^2\right)\ge\left(2b+c\right)^2;3\left(2c^2+a^2\right)\ge\left(2c+a\right)^2$

$\Rightarrow P\le\dfrac{1}{2a+b}+\dfrac{1}{2b+c}+\dfrac{1}{2c+a}$

Ta có: $\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\ge9\Rightarrow\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\ge\dfrac{1}{x+y+z}$

$\Rightarrow P\le\dfrac{1}{2a+b}+\dfrac{1}{2b+c}+\dfrac{1}{2c+a}$

$\le\dfrac{1}{9}\left[\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)+\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)+\left(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\right)\right]$

$\Rightarrow P\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{3}{a}+\dfrac{3}{b}+\dfrac{3}{c}\right)=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\left(1\right)$

Lại có:

$10\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)=3\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)+6\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\right)+2015$

$=3\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2+2015\left(2\right)$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

$3\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)\ge\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2$

$\Rightarrow\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)\ge\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2$

$\Rightarrow10\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)\ge10\cdot\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2\left(3\right)$

Từ $(2)$ và $(3)$ $\Rightarrow3\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2+2015\ge10\cdot\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2$

$\Rightarrow2015\ge10\cdot\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2-3\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2$

$\Rightarrow\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2\le3\cdot2015\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\le\sqrt{3\cdot2015}=\sqrt{6045}\left(4\right)$

Từ $(1)$ và $(4)$$\Rightarrow P\le\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\le\dfrac{1}{3}\cdot\sqrt{6045}=\dfrac{\sqrt{6045}}{3}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\dfrac{3}{\sqrt{6045}}$

P/s:Bài hình cậu tự làm nhé, vì hình mình dốt lắm khi nào bí quá bí thì hãy hỏi nhé, bài Bất Đẳng Thức mình vẫn còn 1 cách nữa cần sẽ cung cấp thêm !!

Khoá học trên OLM (olm.vn)

Khoá học trên OLM (olm.vn)