Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nghiêm Phương Linh

Câu 1
Cho hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}\left(m-2\right)x-3y=-5\\x+my=3\end{matrix}\right.\left(I\right)\) (với m là tham số)

a) Giải hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất với mọi m.Tìm nghiệm duy nhất đó theo m.

Câu 2
Cho Parabol (P): \(y=x^2\) và đường thẳng (d) có phương trình: \(y=2\left(m+1\right)x-3m+2\)
a) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) với m=3
b) Chứng minh (P) và (d) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A,B với mọi m
c) Gọi \(x_1;x_2\) là hoành độ giao điểm A,B. Tìm m để \(x_1^2+x_1^2=20\)
Câu 3 Cho đường tròn (O;R) dây DE < 2R. Trên tia đối DE lấy điểm A, qua A kẻ 2 tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (O), (B,C là tiếp điểm). Gọi H là trung điểm DE, K là giao điểm của BC và DE.
a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp
b) Gọi (I) là đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC. Chứng minh rằng H thuộc đường tròn (I) và HA là phân giác BHC.
c) Chứng minh rằng \(\dfrac{2}{AK}=\dfrac{1}{AD}+\dfrac{1}{AE}.\)
Câu 5
Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn:
\(7\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)=6\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\right)+2015\).
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
\(P=\dfrac{1}{\sqrt{3\left(2a^2+b^2\right)}}+\dfrac{1}{\sqrt{3\left(2a^2+c^2\right)}}+\dfrac{1}{\sqrt{3\left(2c^2+a^2\right)}}.\)
Đề của Phú Thọ năm 2015-2016 ạ
Các cậu bơi vào đây thảo luận đi

Lightning Farron
16 tháng 3 2017 lúc 19:24

Bài Bất đẳng thức phân thức thứ 2 của tổng P ở phần mẫu sai đề

Lightning Farron
16 tháng 3 2017 lúc 20:01

Câu 1:

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(m-2\right)x-3y=-5\\x+my=3\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m-2\right)\left(3-my\right)-3y=-5\\x=3-my\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3m-m^2y-6+2my-3y=-5\\x=3-my\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m^2-2m+3\right)y=3m-1\left(1\right)\\x=3-my\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(m^2-2m+3=\left(m-1\right)^2+2>0\forall m\) nên \(pt(1)\) có nghiệm duy nhất \(\forall m\)

Suy ra hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\forall m\)

Từ \((1)\) ta có \(y=\dfrac{3m-1}{m^2-2m+3}\) thay vào \((2)\) ta có \(x=\dfrac{9-5m}{m^2-2m+3}\)

Câu 2:

Thay \(m=3\) ta có \((d)\):\(y=8x-7\)

Phương trình hoành độ giao điểm \((P)\)\((d)\) khi \(m=3\)

\(x^2=8x-7\Leftrightarrow x^2-8x+7=0\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x_1=1\\x_2=7\end{matrix}\right.\)

Tọa độ giao điểm \((P)\)\((d)\)\((1;1);(7;49)\)

b)Xét phương trình hoành độ giao điểm \((P)\)\((d)\):

\(x^2-2(m+1)x+3m-2=0(1)\)

\(\Delta=m^2+2m+1-3m+2=m^2-m+3=\left(m-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{11}{4}>0\forall m\)

Nên pt \((1)\) có hai nghiệm phân biệt \(\forall m\)

Suy ra \((P)\)\((d)\) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt \(A,B\) với mọi \(m\)

c)Ta có \(x_1;x_2\) là nghiệm của pt \((1)\) do \(\Delta>0\forall m\) theo định lý Vi-ét ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m+2\\x_1x_2=3m-2\end{matrix}\right.\)

\(x^2_1+x_2^2=20\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=20\)

Thay vào hệ thức Vi-ét ta có:

\(\left(2m+2\right)^2-2\left(3m-2\right)=20\Leftrightarrow2m^2+m-6=0\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=-\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)

Lightning Farron
16 tháng 3 2017 lúc 22:07

Câu 5:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Rightarrow3\left(2a^2+b^2\right)\ge\left(2a+b\right)^2\). Tương tự cũng có:

\(3\left(2b^2+c^2\right)\ge\left(2b+c\right)^2;3\left(2c^2+a^2\right)\ge\left(2c+a\right)^2\)

\(\Rightarrow P\le\dfrac{1}{2a+b}+\dfrac{1}{2b+c}+\dfrac{1}{2c+a}\)

Ta có: \(\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\ge9\Rightarrow\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\ge\dfrac{1}{x+y+z}\)

\(\Rightarrow P\le\dfrac{1}{2a+b}+\dfrac{1}{2b+c}+\dfrac{1}{2c+a}\)

\(\le\dfrac{1}{9}\left[\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)+\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)+\left(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\right)\right]\)

\(\Rightarrow P\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{3}{a}+\dfrac{3}{b}+\dfrac{3}{c}\right)=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\left(1\right)\)

Lại có:

\(10\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)=3\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)+6\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\right)+2015\)

\(=3\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2+2015\left(2\right)\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(3\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)\ge\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)\ge\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2\)

\(\Rightarrow10\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)\ge10\cdot\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2\left(3\right)\)

Từ \((2)\)\((3)\) \(\Rightarrow3\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2+2015\ge10\cdot\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2\)

\(\Rightarrow2015\ge10\cdot\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2-3\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2\le3\cdot2015\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\le\sqrt{3\cdot2015}=\sqrt{6045}\left(4\right)\)

Từ \((1)\)\((4)\)\(\Rightarrow P\le\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\le\dfrac{1}{3}\cdot\sqrt{6045}=\dfrac{\sqrt{6045}}{3}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{3}{\sqrt{6045}}\)

P/s:Bài hình cậu tự làm nhé, vì hình mình dốt lắm khi nào bí quá bí thì hãy hỏi nhé, bài Bất Đẳng Thức mình vẫn còn 1 cách nữa cần sẽ cung cấp thêm !!

Lightning Farron
16 tháng 3 2017 lúc 22:47

B A C M O D K H

đang rảnh ngồi gank nốt hình rồi ngủ vậy (hình minh họa)

Lightning Farron
16 tháng 3 2017 lúc 23:11

Câu 3:

a)Vì \(AB,AC\) là 2 tiếp tuyến với \((O)\) suy ra \(\widehat{ABO}=\widehat{ACO}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{ABO}+\widehat{ACO}=180^o\)

\(\Rightarrow ABOC\) nội tiếp

b)Vì \(H\) là trung điểm của \(DE\) nên \(OH\) vuông góc \(DE\) suy ra \(\widehat{AHO}=90^o\)

Lại có \(\widehat{ABO}=\widehat{ACO}=90^o\)\(\Rightarrow H\in\left(I\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{AHB}=\widehat{AOB}\) (cùng chắn cung \(AB\) của \((I)\)) \((1)\)

\(\Rightarrow\widehat{AHC}=\widehat{AOC}\) (cùng chắn cung \(AC\) của \((I)\)) \((2)\)

\(OA\) là phân giác \(\widehat{BOC}\) (tính chất \(2\) tiếp tuyến cắt nhau tại \(1\) điểm ở bên ngoài đường tròn)\((3)\)

Từ \((1);(2);(3)\) suy ra \(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}\) hay \(HA\) là phân giác \(\widehat{BHC}\)

c)Gọi \(M\) là giao điểm \(AO;BC\) thì \(BC\) vuông góc \(AO\) tại \(M\)

\(\Rightarrow\widehat{KMO}=\widehat{KHO}=90^o\) suy ra \(KHOM\) nội tiếp

\(\Rightarrow\Delta AKO\text{∼}\Delta AMH\left(g-g\right)\Rightarrow AH\cdot AK=AM\cdot AO=AB^2\)

Lại có: \(\Delta ADB\text{∼}\Delta ABE\left(g-g\right)\Rightarrow AD\cdot AE=AB^2\)

\(\Rightarrow AD\cdot AE=AH\cdot AK\)

\(\Rightarrow2AD\cdot AE=2AH\cdot AK=AK\cdot2AH=AH\left(AH+AH\right)\)

\(=AK\left(AH+AD+HD\right)=AK\left(AD+AH+HE\right)\) (Vì \(HD=HE\))

\(\Rightarrow2AD\cdot AE=AK\left(AD+AE\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{2}{AK}=\dfrac{AD+AE}{AD\cdot AE}=\dfrac{1}{AD}+\dfrac{1}{AE}\)

P/s:∼ là kí hiệu mình thay thế thôi nhé tại hoc24 ít kí hiệu qua mình xài tạm

Lightning Farron
18 tháng 3 2017 lúc 20:29

đính chính lại nhé !!

By Cauchy-Schwarz we have:

\(\sum\frac{1}{\sqrt{3(2a^2+b^2)}}=\sum\frac{1}{\sqrt{(2+1)(2a^2+b^2)}}\)

\(\leq\sum\frac{1}{2a+b}\leq\frac{1}{9}\sum\left(\frac{2^2}{2a}+\frac{1^2}{b}\right)\)

\(=\frac{1}{3}\sum_{cyc}\frac{1}{a}\leq\sqrt{\frac{1}{3}\sum_{cyc}\left(\frac{7}{a^2}-\frac{6}{ab}\right)}=\sqrt{\frac{2015}{3}}.\)

The equality occurs for \(\sum\limits\left(\frac{7}{a^2}-\frac{6}{ab}\right)=2015\) and \(a=b=c\)

Như vậy, đáp án là \(\sqrt{\frac{2015}{3}}\)


Các câu hỏi tương tự
Nghiêm Phương Linh
Xem chi tiết
Bích Hàn Đường
Xem chi tiết
wary reus
Xem chi tiết
Bích Thiên
Xem chi tiết
Nghiêm Phương Linh
Xem chi tiết
minh minh
Xem chi tiết
minh minh
Xem chi tiết
Võ Đông Anh Tuấn
Xem chi tiết
Nguyen NgocAnh
Xem chi tiết