Question

1Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AD, BE, CK cắt nhau tại H. Gọi O là trung điểm của BC.

a) Chứng minh bốn điểm B, C, E, K cùng thuộc một đường tròn tâm O

b) Chứng minh: AB.AK = AC.AE

c) Vẽ đường tròn đường kính AH. Chứng minh OE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AH.

d) Tìm điều kiện của ∆ABC để OE = EK

Answer 1

a: Xét tứ giác BKEC có \(\hat{BKC}=\hat{BEC}=90^0\)

nên BKEC là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BC

mà O là trung điểm của BC

nên B,C,K,E cùng thuộc (O)

b: Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAKC vuông tại K có

\(\hat{EAB}\) chung

Do đó: ΔAEB~ΔAKC

=>\(\frac{AE}{AK}=\frac{AB}{AC}\)

=>\(AE\cdot AC=AK\cdot AB\)

c: Gọi I là trung điểm của AH

=>I là tâm đường tròn đường kính AH

ΔAEH vuông tại E

mà EI là đường trung tuyến

nên IE=IH

=>ΔIHE cân tại I

=>\(\hat{IEH}=\hat{IHE}\)

mà \(\hat{IHE}=\hat{ACB}\left(=90^0-\hat{HAC}\right)\)

nên \(\hat{IEH}=\hat{ACB}\)

ΔOBE cân tại O

=>\(\hat{OBE}=\hat{OEB}\)

\(\hat{IEO}=\hat{IEB}+\hat{OEB}=\hat{EBC}+\hat{ECB}=90^0\)

=>OE là tiếp tuyến của (I)

d: Xét ΔOEK có OE=EK=OK

nên ΔOEK đều

=>\(\hat{KOE}=60^0\)

Xét (O) có

\(\hat{KCE}\) là góc nội tiếp chắn cung KE

=>\(\hat{KCE}=\frac12\cdot\hat{KOE}=\frac12\cdot60^0=30^0\)

ΔAKC vuông tại K

=>\(\hat{KAC}+\hat{KCA}=90^0\)

=>\(\hat{BAC}=90^0-30^0=60^0\)