Dự đoán xảy ra cực trị khi a = b = c =2. Khi đó P =\(\frac{3\sqrt{2}}{4}\). Ta sẽ chứng minh đó là MAX của P
Ta có: \(\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3-\left(a+b+c\right)\ge abc-\left(a+b+c\right)=2\)
Đặt a + b +c = t>0 suy ra \(\frac{t^3-27t}{27}\ge2\Leftrightarrow t^3-27t\ge54\Leftrightarrow t^3-27t-54\ge0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t\ge6\\t=-3\left(L\right)\end{cases}}\). Do vậy \(t\ge6\) (em làm tắt xiu nhé,dài quá)
\(P=\Sigma_{cyc}\frac{2}{\sqrt{2}.\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}}\le\sqrt{2}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)
Giờ đi chứng minh \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\le\frac{3}{4}\)
Em cần suy ra nghĩ tiếp:(
tth_new
xảy ra cực trị khi a=b=c=2
lúc đó abc\(\ne\)a+b+c+2 (trái giả thiết)
xem lại đi nhé
\(abc=a+b+c+2\Leftrightarrow\frac{2}{abc}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1\) đến đây ta nhìn thấy giả thiết đưa về cách đặt ẩn phụ đặc trưng:
Đặt \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)=\left(\frac{x}{y+z};\frac{y}{z+x};\frac{z}{x+y}\right)\), cách đặt này hoàn toàn có thể vì:
\(\frac{2xyz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}+\frac{xy\left(x+y\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}+\frac{yz\left(y+z\right)}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)\left(x+y\right)}+\frac{xz\left(x+z\right)}{\left(x+y\left(y+z\right)\left(x+z\right)\right)}\)
\(=\frac{2xyz+x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+x^2z+xz^2}{2xyz+x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+x^2z+xz^2}=1\) (thỏa mãn giả thiết)
Khi đó \(\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\le\frac{1}{\sqrt{2ab}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\frac{xy}{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}}\le\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}\right)\)
Tương tự và cộng lại ta được: \(P\le\frac{3}{2\sqrt{2}}\)
@Linh:Chị mới sai ý,chị tính kĩ lại đi,a=b=c=2 suy ra hai vế đều bằng 8 nhé!
Ồ, nhầm lẫn xíu:
\(\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\frac{xy}{\left(y+z\right)\left(x+z\right)}}\le\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\frac{x}{x+z}+\frac{y}{y+z}\right)\) tách thế này mới đúng chứ
cách đặt của thơ là đúng nhưng e làm vậy ko tự nhiên cho lắm để a làm rõ cách đặt của e
#btw cách của tth sai rồi nhé mặc dù a chưa kiểm tra m sai chỗ nào nhưng bdt cuối m ngc dấu rồi
\(abc=a+b+c+2\)
\(\Leftrightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)=\left(a+1\right)\left(b+1\right)+\left(b+1\right)\left(c+1\right)+\left(c+1\right)\left(1+a\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=1\)
đặt \(x=\frac{1}{a+1}\Rightarrow a=\frac{1}{x}-1=\frac{x+y+z-x}{x}=\frac{y+z}{x}\) vì x+y+z=1
phần sau e làm đúng rồi
@a Thắng: bđt cuối em còn có đk a+b+c > 6 nữa mà anh? Em vẫn chưa nhìn ra chỗ ngược dấu trong bài làm ở phía trên ạ.
Thôi bỏ đi...bài làm em dù ko nhìn ra lỗi sai nhưng nó cũng sai rồi:( sr ạ!
bdt cuối của tth ko đánh giá dc nhỏ hơn hoặc = nhé là do m đánh giá chưa chặt chỗ nào đó nên bdt cuối bị sai
