a) Vì AB là tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại B, nên \(\widehat{ABO}\) = 90°.

Vì I là TĐ của MN, nên OI là đường trung trực của MN.

Do đó, OI \(\perp\) MN tại I, hay \(\widehat{AIO}\) = 90°.

Xét tứ giác ABOI, ta có \(\widehat{ABO}+\widehat{AIO}\) = 90° + 90° = 180°.

Vậy tứ giác ABOI nội tiếp đường tròn

b) Vì OB = OD (bán kính), nên tam giác OBD cân tại O.

Do đó, \(\widehat{OBD}=\widehat{ODB}\).

Vì OC = OE (bán kính), nên tam giác OCE cân tại O.

Do đó, \(\widehat{OCE}=\widehat{OEC}\).

Mặt khác, \(\widehat{BOC}=\widehat{BOI}+\widehat{COI}=\widehat{DOI}+\widehat{COE}=\widehat{DOE}\)

Theo tính chất góc ngoài của tam giác, ta có

\(\widehat{CED}=\widehat{COE}+\widehat{OCE}=\dfrac{\left(180^o-\widehat{BOE}\right)}{2}=\dfrac{180^o-\widehat{DOE}}{2}\)

Vì AB, AC là hai tiếp tuyến của đường tròn tâm O, nên AO là phân giác của góc BOC.

Do đó, \(\widehat{BAO}=\widehat{\dfrac{BOC}{2}}=\dfrac{\widehat{DOE}}{2}\)

Vậy \(\widehat{CED}=\widehat{BAO}\)

c) Gọi K là giao điểm của BC và OI.

Vì AB = AC (t/c hai tiếp tuyến)

OB = OC (bán kính)

nên OA là đường trung trực của BC.

Do đó, OA \(\perp\) BC tại K.

Mặt khác, OI là đường trung trực của MN, nên OI \(\perp\) MN tại I.

Xét tam giác OBE, ta có OK là đường cao và OI là đường trung tuyến

Vậy tam giác OBE cân tại O, hay OB = OE.

=> OI là đường cao đồng thời là đường trung tuyến của tam giác OBE.

Vậy OI \(\perp\) BE.

d)Ta có: OI \(\perp\) MN tại I (CMT)

Vì PF cắt đường tròn tâm O tại T, nên\(\widehat{PTO}\) = 90°.

Mặt khác, \(\widehat{AIO}\) = 90° (CMT).

Vậy tứ giác PTOI nội tiếp đường tròn.

Suy ra \(\widehat{PTI}=\widehat{POI}\).

Mà \(\widehat{POI}=\widehat{QOI}\) (hai góc đối đỉnh).

Nên \(\widehat{PTI}=\widehat{QOI}\).

Do đó, tia PT trùng với tia PQ.

Vậy 3 điểm A, T, Q thẳng hàng.

a. thay x = 25 vào E ta được:

\(E=\dfrac{x+7}{\sqrt{x}-3}=\dfrac{25+7}{\sqrt{25}-3}=\dfrac{32}{2}=16\)

b. \(F=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}+\dfrac{2}{3-\sqrt{x}}-\dfrac{x+3}{x-2\sqrt{x}-3}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}-\dfrac{2}{\sqrt{x}-3}-\dfrac{x+3}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\\ =\dfrac{\sqrt{x}\cdot\left(\sqrt{x}-3\right)-2\cdot\left(\sqrt{x}+1\right)-x-3}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\\ =\dfrac{x-3\sqrt{x}-2\sqrt{x}-2-x-3}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\\ =\dfrac{-5\sqrt{x}-5}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\\ =\dfrac{-5\cdot\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\\ =\dfrac{-5}{\sqrt{x}-3}\)

c. \(A=E+F=\dfrac{x+7}{\sqrt{x}-3}+\dfrac{-5}{\sqrt{x}-3}=\dfrac{x+2}{\sqrt{x}-3}\)

để \(\left|A\right|>A\text{ thì }A< 0\)

x + 2 > 2 ≥ 0 => x ≥ 0 (1)

\(\sqrt{x}-3< 0\Rightarrow\sqrt{x}< 3\Rightarrow x< 9\) (2)

từ (1) (2) => x ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}

vậy số nguyên x lớn nhất cần tìm là 8

Sửa lại đề bài \(\left(P\right):y=-\dfrac{1}{2}x\)

vì \(\left(P\right)\) qua gốc tọa độ nên:

Để \(\left(P\right)\cap\left(d\right)=O\left(0;0\right)\)

\(\Leftrightarrow0=k.0-k-2\)

\(\Leftrightarrow k=-2\)

Vậy \(k=-2\) thỏa mãn đề bài

\(4.\left(x+4\right)^4+\left(x+6\right)^4=2\left(1\right)\)

Đặt \(y=x+5\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(y^4-4y^3+6y^2-4y+1\right)+\left(y^4+4y^3+6y^2+4y+1\right)=2\)

\(\Leftrightarrow2y^4+12y^2+2=2\)

\(\Leftrightarrow y^4+6y^2=0\)

\(\Leftrightarrow y^2\left(y^2+6\right)=0\)

\(\Leftrightarrow y=0\left(y^2+6>0\right)\)

\(\Leftrightarrow x+5=0\)

\(\Leftrightarrow x=-5\)

Vậy \(x=-5\) là nghiệm của phương trình \(\left(1\right)\)

Các câu còn lại tương tự bạn tự giải nhé!

\(1.x^4-5x^2+6=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2\right)\left(x^2-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2=2\\x^2=3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\pm\sqrt{2}\\x=\pm\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)

Vậy \(x\in\left\{\pm\sqrt{2};\pm\sqrt{3}\right\}\) là nghiệm phương trình cho

\(2.x^4+x^2+4=\left(x^2+2\right)\left(2-x^2\right)\)

\(\Leftrightarrow x^4+x^2+4=4-x^4\)

\(\Leftrightarrow2x^4+x^2=0\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(2x^2+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x=0\left(2x^2+1>0\right)\)

Vậy \(x=0\) là nghiệm của phương trình cho

\(3.2x^4-x^2-3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+1\right)\left(x^2-\dfrac{3}{2}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-\dfrac{3}{2}=0\left(x^2+1>0\right)\)

\(\Leftrightarrow x=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

Vậy \(x=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) là nghiệm của phương trình cho

\(7.3x^3+3x^2+3x=-1\)

\(\Leftrightarrow3x^3+3x^2+3x+1=0\)

\(\Leftrightarrow x^3+3x^2+3x+1=-2x^3\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^3=-2x^3\)

\(\Leftrightarrow x+1=-\sqrt[3]{2}x\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{-1}{1+\sqrt[3]{2}}\)

\(8.8x^3-12x^2+6x-5=0\)

\(\Leftrightarrow8x^3-12x^2+6x-1-4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x^3-1\right)^3=4\)

\(\Leftrightarrow2x-1=\sqrt[3]{4}\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{\sqrt[3]{4}+1}{2}\)