1: Xét tứ giác MAIE có \(\hat{MAI}+\hat{MEI}=90^0+90^0=180^0\)

nên MAIE là tứ giác nội tiếp

2: Xét tứ giác NEIB có \(\hat{NEI}+\hat{NBI}=90^0+90^0=180^0\)

nên NEIB là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{ENI}=\hat{EBI}\)

MAIE là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{IME}=\hat{IAE}\)

Xét ΔEAB và ΔIMN có

\(\hat{EAB}=\hat{IMN}\)

\(\hat{EBA}=\hat{INM}\)

Do đó: ΔEAB~ΔIMN

=>\(\frac{EA}{IM}=\frac{EB}{IN}\)

=>\(EA\cdot IN=EB\cdot IM\)

Vì $K$ là trung điểm $HE$ và $N$ là trung điểm $OK$, theo công thức tọa độ/vectơ trung điểm:$$\vec{ON} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OE}}{4}$$
Xét đoạn $MP$: $M$ là trung điểm $BE$, $P$ là trung điểm $AC$.Trung điểm của đoạn $MP$ có tọa độ/vectơ là:$$\frac{\vec{OM} + \vec{OP}}{2} = \frac{\frac{\vec{OB} + \vec{OE}}{2} + \frac{\vec{OA} + \vec{OC}}{2}}{2} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OE}}{4}$$
Hai kết quả trùng nhau $\Rightarrow N$ là trung điểm $MP \Rightarrow M, N, P$ thẳng hàng (đpcm).

a, Vẽ hai đường thẳng \(\left(d1\right)\) và \(\left(d2\right)\)

Muốn vẽ mỗi đường thẳng, chỉ cần tìm hai điểm thuộc đường thẳng.

Đường thẳng \(\left(d1\right)\): \(2x+y=3\)

Cho \(x=0\Longrightarrow y=3\Longrightarrow A\left(0;3\right)\)

Cho \(y=0\Longrightarrow x=\frac32\Longrightarrow B\left(\frac32;0\right)\)

Nối A và B

Đường thẳng \(\left(d2\right)\): \(x−4y=6\)

Cho \(y=0\Longrightarrow x=6\Longrightarrow C\left(6;0\right)\)

Cho \(\) \(x=2\Longrightarrow y=-1\Longrightarrow D\left(2;-1\right)\)

Nối C và D lại với nhau

b, Hệ phương trình:

\(\begin{cases}2x+y=3\left(1\right)\\ x-4y=6\left(2\right)\end{cases}\)

Xét (1), có: \(y=3-2x\)

Thế vào (2) ta được: \(x−4(3−2x)=6\)

\(\Leftrightarrow x-12+8x=6\)

\(\Leftrightarrow9x=18\Leftrightarrow x=2\)

\(\Longrightarrow y=3-2.2=-1\)

Vậy giao điểm của hai đường thẳng là \(\left(2;-1\right)\) à nghiệm của hệ phương trình là \(\left(x;y\right)=\left(2;-1\right)\)

c, Đường thẳng \((d3​):(2m+1)x+my=2m−3\)

Ba đường thẳng đồng quy khi \(\left(d3\right)\) đi qua giao điểm của (d1) và (d2)\(\Leftrightarrow\left(2;-1\right)\)

Thay vào phương trình \(\left(d3_{}\right)\):

\((d3​):−9x−5y=−13.\)

Thay \(\left(2;-1\right)\) vào:

\((d3​):−9x−5y=−13.\)

\(\Longrightarrow3\) đường thẳng đồng quy \(\Longrightarrow\) \(m=-5\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

a: (d1): 2x+y=3

=>y=-2x+3

(d2): x-4y=6

=>4y=x-6

=>\(y=\frac14x-\frac32\)

Vẽ đồ thị:

b: \(\begin{cases}2x+y=3\\ x-4y=6\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}2x+y=3\\ 2x-8y=12\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}2x+y-2x+8y=3-12\\ 2x+y=3\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}9y=-9\\ 2x=3-y\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}y=-1\\ 2x=3-\left(-1\right)=3+1=4\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=-1\\ x=2\end{cases}\)

=>NGhiệm của hệ là (x;y)=(2;-1)

c: Thay x=2 và y=-1 vào (d3), ta được:

\(2\left(2m+1\right)-m=2m-3\)

=>4m+2-m=2m-3

=>3m+2=2m-3

=>m=-5

a: Xét ΔABC vuông tại A có tan B=\(\frac{AC}{AB}\)

=>\(\frac{AC}{12}=\frac34=\frac{9}{12}\)

=>AC=9(cm)

ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC^2=12^2+9^2=225=15^2\)

=>BC=15(cm)

b: Xét ΔABC vuông tại A có sin C=\(\frac{AB}{BC}=\frac{12}{15}=\frac45\)

nên \(\hat{C}\) ≃53 độ 8p

c: Xét ΔBHA vuông tại H và ΔBAC vuông tại A có

góc HBA chung

Do đó: ΔBHA~ΔBAC

=>\(\frac{S_{BHA}}{S_{BAC}}=\left(\frac{BA}{BC}\right)^2=\left(\frac{12}{15}\right)^2=\left(\frac45\right)^2=\frac{16}{25}\)

=>\(S_{BHA}=\frac{16}{25}\cdot S_{BAC}=\frac{16}{25}\cdot\frac12\cdot AB\cdot AC=\frac{8}{25}\cdot9\cdot12=34,56\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

Xét ΔKGH cân tại K có \(\hat{KGH}=45^0\)

nên ΔKGH vuông cân tại K

=>\(KG^2+KH^2=GH^2\) và KG=KH

=>\(2\cdot KH^2=\left(2\sqrt2\right)^2=8\)

=>\(KH^2=4\)

=>KH=2(cm)

=>KG=KH=2cm

Chu vi tam giác KGH là:

KG+KH+HG

=2+2+\(2\sqrt2=4+2\sqrt2\) (cm)

Diện tích tam giác KGH là:

\(S_{KGH}=\frac12\cdot KG\cdot KH=\frac12\cdot2\cdot2=2\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

a: Xét (O) có

MA,MB là các tiếp tuyến

Do đó: MA=MB và MO là phân giác của góc AMB; OM là phân giác của góc AOB

Ta có; \(\hat{MAD}+\hat{OAD}=\hat{MAO}\) (tia AD nằm giữa hai tia AO và AM)

=>\(\hat{OAD}=90^0-45^0=45^0\)

=>\(\hat{MAD}=\hat{OAD}\)

=>AD là phân giác của góc MAO

Xét ΔMAO có AD là phân giác

nên \(\frac{DO}{DM}=\frac{OA}{AM}=\frac{OA}{BM}\)

=>\(DO\cdot BM=DM\cdot OA\)

b: Xét ΔMAD và ΔMBD có

MA=MB

\(\hat{AMD}=\hat{BMD}\)

MD chung

Do đó: ΔMAD=ΔMBD

=>\(\hat{MAD}=\hat{MBD}\)

=>\(\hat{MBD}=45^0=\frac12\cdot\hat{MBO}\)

=>BD là phân giác của góc MBO

DM+DC+CN=MN

=>DC+2DM=10

=>2DM=10-DC

=>DM=5-0,5DC

ΔAMN vuông tại A

=>\(AM^2+AN^2=MN^2\)

=>\(MN^2=DA^2+DM^2+DA^2+DN^2=2\cdot DA^2+\left(5-0,5DC\right)^2+\left(DC+CN\right)^2\)

=>\(MN^2=2\cdot DC^2+25-5\cdot DC+0,25DC^2+\left(DC+5-0,5DC\right)^2\)

=>\(2,25\cdot DC^2-5\cdot DC+25+\left(0,5DC+5\right)^2=100\)

=>\(2,25\cdot DC^2-5\cdot DC+25+0,25DC^2+5\cdot DC+25=100\)

=>\(2,5\cdot DC^2=100-25-25=50\)

=>\(DC^2=20\)

=>\(S_{ABCD}=20\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

1:

a: Thay x=0 và y=0 vào (d), ta được:

\(0\left(a-1\right)+2\cdot0=a\)

=>a=0

b: Thay x=-3 và y=2 vào (d), ta được:

-3(a-1)+2*2=a

=>-3a+3+4=a

=>-3a+7=a

=>-4a=-7

=>\(a=\frac74\)

2:

(a-1)x+2y=a

=>ax-x+2y=a

=>ax-a-x+2y=0

=>a(x-1)-x+2y=0

Tọa độ điểm cố định mà (d) luôn đi qua là:

\(\begin{cases}x-1=0\\ -x+2y=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=1\\ 2y=x=1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=1\\ y=\frac12\end{cases}\)