Bài 3: Gọi số cần tìm có dạng là \(\overline{ab}\)

Chữ số hàng đơn vị gấp đôi chữ số hàng chục

=>b=2a

Nếu viết thêm chữ số 9 vào giữa hai chữ số thì được số mới lớn hơn bình phương của số ban đầu là 48 đơn vị

=>\(\overline{a9b}-\left(\overline{ab}\right)^2=48\)

=>100a+90+b-(10a+b)^2=48

=>100a+90+2a-(10a+2a)^2=48

=>\(-144a^2+102a+42=0\)

=>\(24a^2-17a-7=0\)

=>\(24a^2-24a+7a-7=0\)

=>(a-1)(24a+7)=0

=>a-1=0

=>a=1

=>b=2a=2

Vậy: Số cần tìm là 12

Gọi số cần tìm có dạng là \(\overline{ab}\)

Chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 2 nên a-b=2

=>b=a-2

Nếu xen giữa 2 chữ số của số đã cho chính số ban đầu thì số đó tăng thêm 5480 đơn vị

=>\(\overline{aabb}-\overline{ab}=5480\)

=>1000a+100a+10b+b-10a-b=5480

=>1090a+10b=5480

=>109a+b=548

=>109a+a-2=548

=>110a=550

=>a=5

=>b=a-2=5-2=3

Vậy: Số cần tìm là 53

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Ta cần chứng minh $E,F,M$ thẳng hàng.

Vì $AD$ là phân giác trong của $\angle A$ và $xy$ là phân giác ngoài tại $A$ nên $AD\perp xy.$

Lại có $HE\perp AD,\ HF\perp xy.$

Suy ra $HE\parallel xy,\ HF\parallel AD$.

Do đó tứ giác $AEHF$ có $AE\parallel HF,\ AF\parallel HE$

nên $AEHF$ là hình bình hành.

Vì $AD\perp xy$ nên $AEHF$ là hình chữ nhật.

Suy ra hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, tức là trung điểm của $EF$ cũng là trung điểm của $AH$.

Gọi $I$ là trung điểm của $AH$. Khi đó $I$ cũng là trung điểm của $EF$.

Mặt khác, trong tam giác $ABC$, gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Theo tính chất quen thuộc của trực tâm, $I$ là tâm đường tròn Euler (điểm N), nên

$\overrightarrow{IM}=\dfrac12\overrightarrow{OH}$ và $IM\parallel OH$.

Do $I$ là trung điểm của $EF$, đường thẳng qua $I$ song song $OH$ chính là đường trung trực của đoạn $EF$.

Mà $M$ thuộc đường thẳng đó nên

$E,\ M,\ F$ thẳng hàng.

Vậy $EF$ đi qua trung điểm $M$ của $BC$.

(x+y)(x-1)=(x-y)(x+1)+2(xy+1)

=>\(x^2-x+xy-y=x^2+x-xy-y+2xy+2\)

=>-x-y=x-y+2

=>-x-y-x+y=2

=>-2x=2

=>x=-1

(-x+y)(y+1)=(x+y)(y-2)-2xy

=>-xy+x+\(y^2+y\) =xy-2x+\(y^2-2y\) -2xy

=>\(y^2+x+y-xy=y^2-xy-2x-2y\)

=>x+y=-2x-2y

=>3x=-3y

=>x=-y

=>y=-x=-(-1)=1

Gọi a = BC, b = CA, c = AB, r là bán kính đường tròn nội tiếp, h là đường cao từ A, s là nửa chu vi tam giác ABC.
Vì HK song song BC nên tam giác AHK đồng dạng tam giác ABC, đặt
AH/AB = AK/AC = λ
Do BC và HK là hai tiếp tuyến song song của đường tròn (I) nên khoảng cách giữa BC và HK bằng 2r, suy ra
λ = (h - 2r)/h
Mà diện tích tam giác ABC là
S = ah/2 = rs
Suy ra
h = 2rs/a
Do đó
λ = 1 - 2r/h = 1 - a/s = (s - a)/s
Ta sử dụng tính chất sau, nếu một đường thẳng song song với BC cắt AB, AC theo tỉ số λ và cắt đường tròn ngoại tiếp tại D, E thì
AD.AE = λ.AB.AC
Thật vậy, đặt hệ trục tọa độ với A là gốc, B(c;0), C(bcosA;bsinA), viết phương trình đường tròn ngoại tiếp và đường thẳng DE song song BC, sau khi thế vào và áp dụng hệ thức Viète ta được
AD².AE² = λ²b²c²
Suy ra
AD.AE = λbc
Vậy
AD.AE = bc(s - a)/s
Mặt khác
AI = r/sin(A/2)
Ta có
r = S/s = bc.sinA/(2s)
Suy ra
AI = bc.cos(A/2)/s
Do
cos²(A/2) = s(s - a)/(bc)
nên
AI² = b²c².cos²(A/2)/s²
= bc(s - a)/s
Do đó
AI² = AD.AE
Vậy điều phải chứng minh là AI² = AD.AE.

Gọi M là gốc tọa độ, đặt B(-a;0), C(a;0), A(m;n) với n > 0
Vì M là trung điểm BC nên cách đặt này hợp lí
Đường thẳng d đi qua A và vuông góc AM nên lấy điểm X trên d có dạng:
X(m - nt; n + mt)
Vì P thuộc CF, mà CF ⊥ AB nên:
(P - C).AB = 0
Suy ra tP = (m² + n² - a²)/(an)
Vì Q thuộc BE, mà BE ⊥ AC nên:
(Q - B).AC = 0
Suy ra tQ = -(m² + n² - a²)/(an)
Do đó tP = -tQ nên P và Q nằm hai phía của A trên đường thẳng d và cách A một khoảng bằng nhau
Vậy AP = AQ
Giải thích ngắn gọn: khi biểu diễn P, Q trên cùng đường thẳng d theo tham số t, ta thấy tham số của P và Q đối nhau, nên A là trung điểm của PQ, suy ra AP = AQ.