a: \(\frac{1}{\sqrt[3]{4-\sqrt{15}}}=\frac{\sqrt[3]{4+\sqrt{15}}}{\sqrt[3]{\left(4+\sqrt{15}\right)\left(4-\sqrt{15}\right)}}=\sqrt[3]{4+\sqrt{15}}\)

Đặt \(a=\sqrt[3]{4+\sqrt{15}};b=\sqrt[3]{4-\sqrt{15}}\)

=>\(a^3=4+\sqrt{15};b^3=4-\sqrt{15}\)

=>\(a^3+b^3=8;ab=1\)

x=a+b

=>\(x^3=\left(a+b\right)^3=a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)\)

=>x^3=8+3x

=>\(x^3-3x-8=0\)

=>\(A=x^3-3x+2020=8+2020=2028\)

b: Đặt \(u=\sqrt[3]{\frac{25 + \sqrt{621}}{2}};v=\sqrt[3]{\frac{25 - \sqrt{621}}{2}}\)

=>\(y=\frac13\left(1-u-v\right)\)

=>1-u-v=3y

=>u+v=1-3y

\(u^3 + v^3 = \frac{25 + \sqrt{621}}{2} + \frac{25 - \sqrt{621}}{2} = \frac{50}{2} = 25\)

\(u \cdot v = \sqrt[3]{\frac{(25 + \sqrt{621})(25 - \sqrt{621})}{4}} = \sqrt[3]{\frac{625 - 621}{4}} = \sqrt[3]{\frac{4}{4}} = 1\)

\(\left(u+v\right)^3=u^3+v^3+3uv\left(u+v\right)\)

=>\(\left(1-3y\right)^3=25+3\cdot1\cdot\left(1-3y\right)\)

=>\(1 - 9y + 27y^2 - 27y^3 = 25 + 3 - 9y\)

=>\(1 + 27y^2 - 27y^3 = 28\)

=>\(-27y^3+27y^2=27\)

=>\(-y^3+y^2=1\)

B=2y^3-2y^2+2000

=2(y^3-y^2)+2000

=-2+2000

=1998

ĐKXĐ: x>0; y>0; x<>y

TA có: \(\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{x\sqrt{y}+y\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x\sqrt{y}-y\cdot\sqrt{x}}\)

\(=\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}+\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2}{\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}+\frac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2}{\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}\)

\(=\frac{x-2\sqrt{xy}+y+x+2\sqrt{xy}+y}{\sqrt{xy}\left(x-y\right)}=\frac{2\left(x+y\right)}{\sqrt{xy}\left(x-y\right)}\)

\(P=\left(\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{x\sqrt{y}+y\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x\sqrt{y}-y\cdot\sqrt{x}}\right)\cdot\frac{\sqrt{x^3y}}{x+y}-\frac{2y}{x-y}\)

\(=\frac{2\left(x+y\right)}{\sqrt{xy}\left(x-y\right)}\cdot\frac{x\cdot\sqrt{xy}}{x+y}-\frac{2y}{x-y}=\frac{2x}{x-y}-\frac{2y}{x-y}=\frac{2\left(x-y\right)}{x-y}=2\)

=>P là số nguyên với mọi x,y thỏa mãn ĐKXĐ

17,

Tổng số phần bằng nhau sau khi chuyển là:

\(4+5=9\) ( phần )

Số sách ở giá thứ nhất sau khi chuyển là:

\(450:9\times5=250\) ( cuốn )

Số sách ở giá thứ hai sau khi chuyển là:

\(450-250=200\) ( cuốn )

Số sách lúc đầu ở giá thứ nhất là:

\(250+50=300\)

Số sách lúc đầu ở giá thứ hai là:

\(200-50=150\)

18,

Gọi tổng số bi của hai bạn là \(S\) (tổng số bi luôn không đổi trong suốt các lần cho nhau)

Sau lần thứ 3: Số bi của hai bạn bằng nhau, nghĩa là mỗi bạn có \(\frac{S}{2}\) viên

Trước lần 3 (sau lần 2): Hương có \(\frac14\) tổng số bi, An có \(\frac34\) tổng số bi (vì trong lần 3 An cho Hương bằng số bi Hương đang có nên số bi của Hương tăng gấp đôi)

Trước lần 2 (sau lần 1): An có \(\frac38\) tổng số bi, Hương có \(\frac58\) tổng số bi

Biết lúc đầu:

Số bi của An là \(\frac{11}{16}\) tổng số bi

Số bi của Hương là \(\frac{5}{16}\) tổng số bi

Hiệu số phần bằng nhau giữa hai bạn lúc đầu:

\(\) \(\frac{11}{16}-\frac{5}{16}=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}\) ( tổng số bi )

Tổng số bi của hai bạn là:

\(12:\frac{3}{8}=32\) ( viên )

Số bi lúc đầu của An là:

\(\) \(32 \times \frac{11}{16} = 22 \text{ (viên)}\) ( viên )

Số bi lúc đầu của Hương là:

\(32-22=10\) ( viên )

Vậy An và Hương lần lượt có \(22\) và \(10\) viên bi

Bài 17: Gọi số sách ban đầu ở ngăn thứ nhất là x(quyển)

(ĐIều kiện: x∈N*: x<450)

Số sách ban đầu ở ngăn thứ hai là 450-x(quyển)

Số sách lúc sau ở ngăn thứ nhất là x-50(quyển)

Số sách lúc sau ở ngăn thứ hai là 450-x+50=500-x(quyển)

Số sách lúc sau ở ngăn thứ hai bằng 4/5 số sách lúc sau ở ngăn thứ nhất nên ta có:

\(500-x=\frac45\left(x-50\right)=\frac45x-40\)

=>\(-\frac95x=-40-500=-540\)

=>\(x=540:\frac95=540\cdot\frac59=60\cdot5=300\) (nhận)

Vậy: số sách ban đầu ở ngăn thứ nhất là 300(quyển)

số sách ban đầu ở ngăn thứ hai là 450-300=150(quyển)

Gọi số sản phẩm tổ I và tổ II được giao theo kế hoạch lần lượt là `x` và`y(x,y in NN^**;x,y<600)`

Theo kế hoạch,tổng số sản phẩm hai tổ phải làm là 600 sản phẩm nên ta có pt:

`x+y=600(1)`

Thực tế,tổ I vượt mức `18%` và tổ II vượt mức `21%` nên ta có pt:

`0,18x+0,21y=120(2)`

Từ `(1),(2)` ta có hpt:

`{(x+y=600),(0,18x+0,21y=120):}`

Giải hpt ta được:

`{(x=200(N)),(y=400(N)):}`

Vậy...

Gọi số sản phẩm tổ I được giao theo kế hoạch là \(x\) (sản phẩm) (Điều kiện: \(0 < x < 600\) )

Gọi số sản phẩm tổ II được giao theo kế hoạch là \(y\) (sản phẩm) (Điều kiện: \(0 )

Vì theo kế hoạch hai tổ sản xuất tổng cộng \(600\) sản phẩm, ta có phương trình:

\(x + y = 600 \quad (1)\)

Số sản phẩm vượt mức của tổ I là \(18\% \cdot x\) và của tổ II là \(21\%\cdot y\) . Vì tổng số sản phẩm vượt mức là \(120\) , ta có phương trình:

\(0{,}18x + 0{,}21y = 120\)

Nhân cả hai vế với \(100\) để đơn giản hóa, ta được:

\(18x + 21y = 12000 \quad (2)\)

Từ phương trình (1), ta rút ra \(\) \(y=600-x\) . Thế vào phương trình (2), ta có:

\(18x + 21(600 - x) = 12000\)

\(18x + 12600 - 21x = 12000\)

\(-3x = 12000 - 12600\)

\(-3x = -600\)

\(x=200\) (thỏa mãn)

\(\Longrightarrow\) số sản phẩm của tổ II theo kế hoạch là:

\(y=600-200=400\) (thỏa mãn)

Vậy

Số sản phẩm được giao của tổ I theo kế hoạch là \(200\) sản phẩm

Số sản phẩm được giao của tổ II theo kế hoạch là \(400\) sản phẩm

Gọi thời gian tổ I và tổ II hoàn thành công việc khi làm riêng lần lượt là x(giờ) và y(giờ)

(ĐIều kiện: x>0; y>0)

Trong 1 giờ, tổ I làm được: \(\frac{1}{x}\) (công việc)

trong 1 giờ, tổ II làm được: \(\frac{1}{y}\) (công việc)

Trong 1 giờ, hai tổ làm được: \(\frac16\) (công việc)

Do đó, ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac16\left(1\right)\)

Trong 2+10=12 giờ, tổ I làm được: \(12\cdot\frac{1}{x}=\frac{12}{x}\) (công việc)

Trong 2 giờ, tổ II làm được: \(2\cdot\frac{1}{y}=\frac{2}{y}\) (công việc)

Nếu hai tổ làm chung trong 2 giờ, sau đó tổ II được cử đi làm việc khác thì tổ I hoàn thành phần công việc còn lại trong 10 giờ nên ta có:

\(\frac{12}{x}+\frac{2}{y}=1\left(2\right)\)

Từ (1),(2) ta có hệ phương trình:

\(\begin{cases}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac16\\ \frac{12}{x}+\frac{2}{y}=1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\frac{12}{x}+\frac{12}{y}=\frac{12}{6}=2\\ \frac{12}{x}+\frac{2}{y}=1\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}\frac{12}{x}+\frac{12}{y}-\frac{12}{x}-\frac{2}{y}=2-1\\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac16\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\frac{10}{y}=1\\ \frac{1}{x}=\frac16-\frac{1}{y}\end{cases}\)

=>y=10 và \(\frac{1}{x}=\frac16-\frac{1}{10}=\frac{5}{30}-\frac{3}{30}=\frac{2}{30}=\frac{1}{15}\)

=>y=10(nhận) và x=15(nhận)

Vậy: thời gian tổ I và tổ II hoàn thành công việc khi làm riêng lần lượt là 15(giờ) và 10(giờ)

Bài 8:

Gọi thời gian tổ I làm một mình xong công việc là \(x\) (giờ) (Điều kiện: \(x>6\) )

Gọi thời gian tổ II làm một mình xong công việc là \(y\) (giờ) (Điều kiện: \(y>6\) )

Trong \(1\) giờ, tổ I làm được \(\frac{1}{x}\) (công việc), tổ II làm được \(\frac{1}{y}\) (công việc)

Hai tổ làm chung trong \(6\) giờ thì xong công việc, nên ta có phương trình:

\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \quad (1)\)

Trong \(2\) giờ đầu, cả hai tổ làm chung làm được:

\(2\cdot\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\) (công việc)

Phần công việc còn lại là:

\(1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\) (công việc)

Tổ I hoàn thành phần công việc còn lại này trong \(10\) giờ, nghĩa là trong \(10\) giờ tổ I làm được \(\frac23\) công việc

Do đó, thời gian để tổ I làm một mình xong toàn bộ công việc là:

\(10:\frac{2}{3}=15\) (giờ) \(\Longrightarrow x=15\)

Thay \(x=15\) vào phương trình \(\left(1\right)\) , ta được:

\(\frac{1}{15} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}\)

\(\frac{1}{y} = \frac{1}{6} - \frac{1}{15} = \frac{5}{30} - \frac{2}{30} = \frac{3}{30} = \frac{1}{10}\)

\(\Longrightarrow y=10\) (thỏa mãn)

Vậy

Nếu tổ I làm một mình thì sau \(15\) giờ sẽ xong công việc

Nếu tổ II làm một mình thì sau \(10\) giờ sẽ xong công việc

3: Gọi hai số cần tìm là a,b

Tổng của hai số là 51

=>a+b=51

2/5 số thứ nhất bằng 1/6 số thứ hai

=>\(\frac25a=\frac16b\)

=>\(a=\frac16b:\frac25=\frac16b\cdot\frac52=\frac{5}{12}b\)

a+b=51

=>\(b+\frac{5}{12}b=51\)

=>\(\frac{17}{12}b=51\)

=>\(b=51:\frac{17}{12}=51\cdot\frac{12}{17}=3\cdot12=36\)

=>\(a=51-36=15\)

Vậy: Hai số cần tìm là 15 và 36

Bài 4: Gọi số cần tìm có dạng là \(\overline{ab}\)

Tổng của hai chữ số là 6

=>a+b=6

Nếu thêm vào số đó 18 đơn vị thì số mới thu được chính là số ban đầu viết ngược lại nên ta có:

\(\overline{ab}+18=\overline{ba}\)

=>10a+b+18=10b+a

=>10a+b-10b-a=-18

=>9a-9b=-18

=>a-b=-2

mà a+b=6

nên \(a=\frac{-2+6}{2}=\frac42=2;b=6-a=6-2=4\)

Vậy: số cần tìm là 24

3,

Ta có:\(\frac25\) số thứ nhất bằng \(\frac{2}{12}\) số thứ hai (vì quy đồng tử số: \(\frac{1}{6} = \frac{1 \times 2}{6 \times 2} = \frac{2}{12}\) )

Do đó, nếu coi số thứ nhất là \(5\) phần thì số thứ hai là \(12\) phần

Tổng số phần bằng nhau là:

\(5+12=17\) ( phần )

Giá trị của 1 phần là:

\(51 : 17 = 3\)

Số thứ nhất là:

\(3 \times 5 = 15\)

Số thứ hai là:

\(3 \times 12 = 36\)

4,

Gọi số cần tìm có dạng \(\overline{ab}\) ( Với \(a, b \in \mathbb{N}\) ; \(1 \le a \le 9\) ; \(0 \le b \le 9\) )

Theo đề bài, tổng các chữ số là \(6\) , ta có phương trình:

\(a+b=6\)

Viết ngược lại ta đc \(\overline{ba}\)

Theo đề bài, nếu thêm vào số đó \(18\) đơn vị thì được số ngược lại, ta có phương trình:

\(\) \(\overline{ab} + 18 = \overline{ba}\)

\((10a + b) + 18 = 10b + a\)

\(9b - 9a = 18\)

\(b - a = 2\)

Từ tổng và hiệu, ta tìm được chữ số \(a\) và \(b\) :

Chữ số \(a\) (số bé) là: \(\) \((6 - 2) : 2 = 2\)

Chữ số b (số lớn) là: \(2 + 2 = 4\)

Vậy số cần tìm là \(24\)

`a)`Có : \(\begin{cases}\hat{NMH}+\hat{PMH}=90^0\\ \hat{HMP}+\hat{HPM}=90^0\end{cases}\) (`ΔNMP` vuông ; `MH⊥NP`)

Xét `ΔHMN` và `ΔHPM` có :

\(\begin{cases}\hat{NHM}=\hat{PHM}=90^0\\ \hat{NMH}=\hat{MPH}\left(\operatorname{cm}t\right)\end{cases}\)

`=>ΔHMN∼ΔHPM`(g-g)

`=> MH/HP = MN/MH`

`=> MH^2 = HP*MN`(dpcm)

`b)`xét `ΔMNH` và `ΔMHP` đều vuông tại `H`

có :\(cos\hat{MNH}=\frac{NH}{NM};cos\hat{MPH}=\frac{PH}{MP}\)

`=>`\(MN\cdot cos\hat{MNP}+MP\cdot cos\hat{MPN}=MN\cdot\frac{NH}{MN}+MP\cdot\frac{HP}{MP}\)

`=NH + HP = NP`(đpcm)

Gọi độ dài mặt cầu trượt là BC, độ cao là AB

Theo đề, ta có: AB⊥ AC tại A, AB=2,4m; \(\hat{C}=34^0\)

Xét ΔABC vuông tại A có sin C=\(\frac{AB}{BC}\)

=>BC=AB/sinC=2,4:sin34≃4,29(m)

=>Độ dài mặt cầu trượt là 4,29 mét

Cầu trượt được mô hình hóa như một tam giác vuông \(ABC\) vuông tại \(A\) , trong đó:

Góc dốc của cầu trượt là: \(\widehat{B} = 34^\circ\)

Độ cao của cầu trượt ( cạnh đối góc \(\widehat{B}\) ) là: \(\) \(AC=2,4m\)

Độ dài của mặt cầu trượt (\(\) cạnh huyền của tam giác vuông )là: \(BC\)

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông \(ABC\) , ta có:

\(\sin \widehat{B} = \frac{AC}{BC}\)

\(\Longrightarrow\) độ dài mặt cầu trượt \(BC\) là:

\(BC=\frac{AC}{\sin\widehat{B}}=\frac{2,4}{\sin34^\circ}\approx\frac{2,4}{0,5592}\approx4,29m\)

Đáp số: \(4,29m\)

Bài 15: \(A=cos^4a+cos^2a\cdot\sin^2a+\sin^2a\)

\(=cos^2a\left(\sin^2a+cos^2a\right)+\sin^2a\)

\(=\sin^2a+cos^2a=1\)

Bài 14: \(\hat{ABC}+\hat{ACB}=90^0\) (ΔABC vuông tại A)

\(\hat{HAC}+\hat{ACB}=90^0\) (ΔAHC vuông tại H)

Do đó: \(\hat{HAC}=\hat{ABC}=60^0\)

Xét ΔHAC vuông tại H có tan HAC=\(\frac{HC}{HA}\)

=>\(\frac{HC}{HA}=\tan60=\sqrt3\)

=>\(HC=HA\cdot\sqrt3\)

=>\(HC-HA\cdot\sqrt3=0\)

13,

Mô hình hóa bài toán thành tam giác vuông \(ABC\) vuông tại chân cột đèn, trong đó:

Chiều cao cột đèn là cạnh đối: \(AC\)

Bóng của cột đèn trên mặt đất là cạnh kề: \(AB=5m\)

Góc giữa tia nắng và mặt đất: \(\widehat{B}=60^{\circ}\)

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông:

\(AC=AB\cdot\tan\widehat{B}=5\cdot\tan60^{\circ}=5\sqrt{3}\approx8,66m\)

Vậy chiều cao của cột đèn rơi vào khoảng 8,7 m

14,

Xét tam giác vuông \(ABC\) có \(\widehat{B} = 60^\circ\)

\(\Longrightarrow\widehat{C}=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}\)

Xét tam giác vuông \(AHC\) vuông tại \(H\) :

Cạnh đối diện với góc \(\) \(\widehat{C} = 30^\circ\) là cạnh \(\widehat{C} = 30^\circ\) , nên ta có: \(\tan \widehat{C} = \frac{AH}{CH} \implies AH = CH \cdot \tan 30^\circ = CH \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}\)

\(\Longrightarrow\sqrt{3}AH=CH\)

Thay vào biểu thức tính: \(CH - \sqrt{3}AH = CH - CH = 0\)

Vậy \(CH-\sqrt{3}AH=0\)

Bài 17: Diện tích tam giác ABC là:

\(S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot AC\cdot\sin BAC\)

\(=\frac12\cdot5\cdot8\cdot\sin20=20\cdot\sin20\) ≃6,840\(\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

16,

Gọi độ cao của tòa nhà I là \(h\) (m).

Chiều cao vị trí quan sát \(D\) ở tòa nhà II là \(\) \(HD=10m\) (với \(H\) là chân đường vuông góc hạ từ \(D\) sang phía tòa nhà I, hoặc xét theo cùng mốc mặt đất).

Khoảng cách từ vị trí quan sát \(D\) đến tòa nhà I là \(x\) (m).

Cột ăng-ten \(TF=3m\)

Góc nhìn lên đỉnh \(T\) là \(\alpha = 50^\circ\) , góc nhìn lên chân \(F\) (chính là nóc tòa nhà I) là \(\beta = 40^\circ\)

Xét tam giác vuông tạo bởi góc nhìn chân ăng-ten \(F\) (nóc tòa nhà I):

\(\tan 40^\circ = \frac{h - 10}{x} \implies x \cdot \tan 40^\circ = h - 10 \quad (1)\)

Từ phương trình (1), ta có: \(x=\frac{h - 10}{\tan40^\circ}\)

Thế vào (2):

\(\frac{h - 10}{\tan 40^\circ} \cdot \tan 50^\circ = h - 7\)

\(\Leftrightarrow(h-10)\cdot\frac{\tan50^\circ}{\tan40^\circ}=h-7\)

\(\) \(\Leftrightarrow h\approx\frac{7,203}{0,4203}\approx17,14m\)

17,

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác khi biết độ dài hai cạnh và góc xen giữa:

\(S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\widehat{BAC})\)

\(\) \(\Leftrightarrow S=\frac{1}{2}\cdot5\cdot8\cdot\sin(20^{\circ})\)

\(S = 20 \cdot \sin(20^\circ)\)

\(\sin(20^\circ) \approx 0,342020\)

\(S \approx 20 \cdot 0,342020 \approx 6,8404\text{cm}^2\)

Vậy S \(ABC\) \(\approx\) \(6,840\operatorname{cm}^2\)