a) \(...=\dfrac{x^3+2x+2x^2+2x+x^2-x+1}{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}\)

\(=\dfrac{x^3+3x^2+3x+x^2+1}{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}\)

\(=\dfrac{\left(x+1\right)^2}{x^2-x+1}\)

\(=\dfrac{x^2+2x+1}{x^2-x+1}=1+\dfrac{3x}{x^2-x+1}\)

b) \(...=\dfrac{3\left(x^2+2x+1\right)+\left(x-1\right)^2-3\left(x^2+x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}\)

\(=\dfrac{3x^2+6x+3+x^2-2x+1-3x^2-3x-3}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}\)

\(=\dfrac{x^2+x+1}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}=\dfrac{1}{x-1}\)

Nửa chu vi khu đất:

280 : 2 = 140 (m)

Gọi x (m) là chiều dài khu đất (x > 0)

Chiều rộng khu vườn là: 140 - x (m)

Sau khi làm lối đi thì chiều dài khu đất còn lại là: x - 4 (m)

Sau khi làm lối đi thì chiều rộng khu đất còn lại là: 140 - x - 4 = 136 - x (m)

Theo đề bài, ta có:

(x - 4)(136 - x) = 4256

136x - x² - 544 + 4x = 4256

-x² + 140x - 544 = 4256

x² - 140x + 544 + 4256 = 0

x² - 140x + 4800 = 0

x² - 60x - 80x + 4800 = 0

(x² - 60x) - (80x - 4800) = 0

x(x - 60) - 80(x - 60) = 0

(x - 60)(x - 80) = 0

x - 60 = 0 hoặc x - 80 = 0

*) x - 60 = 0

x = 60 (nhận)

*) x - 80 = 0

x = 80 (nhận)

Với x = 60 thì chiều dài khu đất là 60 m, chiều rộng khu đất là 140 - 60 = 80 m (vô lý vì chiều dài bé hơn chiều rộng)

Với x = 80 thì chiều dài khu đất là 80 m, chiều rộng khu đất là 140 - 80 = 60 m (nhận)

Vậy chiều dài khu đất là 80 m, chiều rộng khu đất là 60 m

a: Xét ΔADC có OE//DC
nên \(\dfrac{OE}{DC}=\dfrac{AO}{AC}\left(1\right)\)

Xét ΔBDC có OF//DC

nên \(\dfrac{OF}{DC}=\dfrac{BO}{BD}\left(2\right)\)

Xét ΔOAB và ΔOCD có

\(\widehat{OAB}=\widehat{OCD}\)(hai góc so le trong, AB//CD)

\(\widehat{AOB}=\widehat{COD}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔOAB~ΔOCD

=>\(\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{OB}{OD}\)

=>\(\dfrac{OC}{OA}=\dfrac{OD}{OB}\)

=>\(\dfrac{OC+OA}{OA}=\dfrac{OD+OB}{OB}\)

=>\(\dfrac{AC}{AO}=\dfrac{BD}{BO}\)

=>\(\dfrac{AO}{AC}=\dfrac{BO}{BD}\left(3\right)\)

Từ (1),(2),(3) suy ra OE=OF
b: Xét ΔCAB có OF//AB

nên \(\dfrac{OF}{AB}=\dfrac{CO}{CA}\)

\(\dfrac{OE}{DC}+\dfrac{OF}{AB}=\dfrac{AO}{AC}+\dfrac{CO}{CA}=\dfrac{AC}{AC}=1\)

=>\(\dfrac{OE}{AB}+\dfrac{OE}{CD}=1\)

=>\(OE\left(\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{CD}\right)=1\)

=>\(\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{CD}=\dfrac{1}{OE}\)

Ta có:D=B(theo định lí hình bình hành)

Do đó:B=60 độ

Mà A=C

Nên A=C=360-60+60

                 _________=120 độ

                        3

Vậy D=B=60 độ

A=C=120 độ

Tứ giác ABCD là hình bình hành.

\(\Rightarrow\)góc B=góc D(=65^o)(tính chất hình bình hành)

Lại có:góc B+góc A =180^o(2 góc trong cùng phía bù nhau)

\(\Rightarrow\)góc A =180^o-góc B=180^o-65^o=115^o

góc A = góc C (115^o)(tính chất hình bình hành)

Bài 8:

2: ĐKXĐ: \(x-1\ne0\)

=>\(x\ne0+1\)

=>\(x\ne1\)

11: ĐKXĐ: \(x^2-4\ne0\)

=>\(x^2\ne4\)

=>\(x\notin\left\{2;-2\right\}\)

13: ĐKXĐ: \(5x^2+x\ne0\)

=>\(x\left(5x+1\right)\ne0\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x\ne0\\5x+1\ne0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x\ne0\\x\ne-\dfrac{1}{5}\end{matrix}\right.\)

Vậy: \(x\notin\left\{0;-\dfrac{1}{5}\right\}\)

15: ĐKXĐ: \(\left(x+1\right)\left(x+3\right)\ne0\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x+1\ne0\\x+3\ne0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x\ne-1\\x\ne-3\end{matrix}\right.\)

21: \(\dfrac{2x+7}{x^2+x-2}\) 

ĐKXĐ: \(x^2+x-2\ne0\)

=>\(\left(x+2\right)\left(x-1\right)\ne0\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x+2\ne0\\x-1\ne0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x\ne-2\\x\ne1\end{matrix}\right.\)

Vậy: \(x\notin\left\{-2;1\right\}\)

Bài 8:

2: ĐKXĐ: \(x-1\ne0\)

=>\(x\ne0+1\)

=>\(x\ne1\)

11: ĐKXĐ: \(x^2-4\ne0\)

=>\(x^2\ne4\)

=>\(x\notin\left\{2;-2\right\}\)

13: ĐKXĐ: \(5x^2+x\ne0\)

=>\(x\left(5x+1\right)\ne0\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x\ne0\\5x+1\ne0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x\ne0\\x\ne-\dfrac{1}{5}\end{matrix}\right.\)

Vậy: \(x\notin\left\{0;-\dfrac{1}{5}\right\}\)

15: ĐKXĐ: \(\left(x+1\right)\left(x+3\right)\ne0\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x+1\ne0\\x+3\ne0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x\ne-1\\x\ne-3\end{matrix}\right.\)

21: \(\dfrac{2x+7}{x^2+x-2}\) 

ĐKXĐ: \(x^2+x-2\ne0\)

=>\(\left(x+2\right)\left(x-1\right)\ne0\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x+2\ne0\\x-1\ne0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x\ne-2\\x\ne1\end{matrix}\right.\)

Vậy: \(x\notin\left\{-2;1\right\}\)

a: Sửa đề: \(\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{3}{x^2-4}+\dfrac{x-14}{\left(x^2+4x+4\right)\left(x-2\right)}\)

\(=\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{3}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}+\dfrac{x-14}{\left(x+2\right)^2\cdot\left(x-2\right)}\)

\(=\dfrac{x^2-4+3\left(x+2\right)+x-14}{\left(x+2\right)^2\cdot\left(x-2\right)}\)

\(=\dfrac{x^2+x-18+3x+6}{\left(x+2\right)^2\cdot\left(x-2\right)}\)

\(=\dfrac{x^2+4x-12}{\left(x+2\right)^2\cdot\left(x-2\right)}=\dfrac{\left(x+6\right)\left(x-2\right)}{\left(x+2\right)^2\cdot\left(x-2\right)}\)

\(=\dfrac{x+6}{\left(x+2\right)^2}\)

b: \(\dfrac{18}{\left(x-3\right)\left(x^2-9\right)}-\dfrac{3}{x^2-6x+9}-\dfrac{x}{x^2-9}\)

\(=\dfrac{18}{\left(x-3\right)^2\cdot\left(x+3\right)}-\dfrac{3}{\left(x-3\right)^2}-\dfrac{x}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\)

\(=\dfrac{18-3\left(x+3\right)+x\left(x-3\right)}{\left(x-3\right)^2\cdot\left(x+3\right)}\)

\(=\dfrac{18-3x-9+x^2-3x}{\left(x-3\right)^2\cdot\left(x+3\right)}\)

\(=\dfrac{x^2-6x+9}{\left(x-3\right)^2\cdot\left(x+3\right)}=\dfrac{1}{x+3}\)

= 3|x - 5|   (1)

*) Với x ≥ 5, ta có:

(1) = 3(x - 5)

*) Với x < 5, ta có:

(1) = 3(5 - x)

\(\dfrac{11x}{2x-3}-\dfrac{x-18}{3-2x}\)

\(=\dfrac{11x}{2x-3}+\dfrac{x-18}{2x-3}\)

\(=\dfrac{11x+x-18}{2x-3}\)

\(=\dfrac{12x-18}{2x-3}=\dfrac{6\left(2x-3\right)}{2x-3}\)

=6

Xét tứ giác AEDF có \(\widehat{AED}=\widehat{AFD}=\widehat{FAE}=90^0\)

nên AEDF là hình chữ nhật

=>AF=DE; AE=DF

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2};AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

Xét ΔADB vuông tại D có DE là đường cao

nên \(AE\cdot AB=AD^2\)(1)

Xét ΔADC vuông tại D có DF là đường cao

nên \(AF\cdot AC=AD^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(AE\cdot AB=AF\cdot AC\)

Xét ΔABC có DE//AC

nên \(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{CD}{CB}\)

Xét ΔABC có DF//AB

nên \(\dfrac{AF}{AC}=\dfrac{BD}{BC}\)

\(\dfrac{AE}{AB}+\dfrac{AF}{AC}=\dfrac{BD}{CB}+\dfrac{CD}{CB}=\dfrac{BD+DC}{BC}=\dfrac{BC}{BC}=1\)

=>\(\dfrac{AE}{AB}+\dfrac{AF}{AC}\) không đổi