Xét ΔOAD và ΔOCB có

\(\hat{OAD}=\hat{OCB}\) (hai góc so le trong, AD//CB)

\(\hat{AOD}=\hat{COB}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔOAD~ΔOCB

=>\(\frac{OA}{OC}=\frac{OD}{OB}=\frac{AD}{CB}\)

Ta có: O nằm giữa B và D

=>\(\frac{S_{AOD}}{S_{AOB}}=\frac{OD}{OB}\) (2)

Ta có: O nằm giữa A và C

=>\(\frac{S_{AOB}}{S_{BOC}}=\frac{OA}{OC}\) (1)

Từ (1),(2) suy ra \(\frac{S_{AOD}}{S_{AOB}}\cdot\frac{S_{AOB}}{S_{BOC}}=\frac{OD}{OB}\cdot\frac{OA}{OC}\)

=>\(\left(\frac{OA}{OC}\right)^2=\frac{S_{AOD}}{S_{BOC}}=\frac{196}{169}=\left(\frac{14}{13}\right)^2\)

=>\(\frac{OA}{OC}=\frac{14}{13}\)

=>\(\frac{S_{AOB}}{S_{BOC}}=\frac{14}{13}\)

=>\(S_{AOB}=169\cdot\frac{14}{13}=13\cdot14=182\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

Tứ giác AEDF có \(\hat{DEA}=\hat{EAF}=\hat{AFD}=90^{\circ}\)
nên AEDF là hình chữ nhật (1)
=> ED//AF (t/c)
=> \(\hat{BDE}=\hat{DCF}\) (2 góc đồng vị)
Xét ΔBDE vuông tại E và ΔDCF vuông tại F có
BD = DC (D là trung điểm BC)
\(\hat{BDE}=\hat{DCF}\) (cmt)
=> ΔBDE = ΔDCF(ch-gn)
=> DE=DF (2 cạnh tương ứng (2)
Từ (1) và (2), suy ra AEDF là hình vuông

ΔABC cân tại A

mà AD là đường trung tuyến

nên AD là phân giác của góc BAC

Xét tứ giác AEDF có \(\hat{AED}=\hat{AFD}=\hat{FAE}=90^0\)

nên AEDF là hình chữ nhật

Hình chữ nhật AEDF có AD là phân giác của góc EAF

nên AEDF là hình vuông

a) Xét tam giác EMC có AB//MC
\(\Rightarrow\frac{EA}{EC}=\frac{AB}{MC}\) (hệ quả Thales)(1)
mà M là trung điểm CD => MC=CD/2
\(\Rightarrow\frac{EA}{EC}=\frac{AB}{\frac{DC}{2}}=\frac{2AB}{DC}\)
b) Xét tam giác EMC có AB//MC
\(\Rightarrow\frac{AF}{FM}=\frac{AB}{DM}\) (hệ quả Thales)(2)
Vì M là trung điểm BC nên MC=DM (3)
Từ (1), (2) và (3), suy ra \(\frac{AF}{FM}=\frac{EA}{EC}\)
=> EF//MC hay EF//DC (Thales đảo)
c) Xét tam giác BDM có EF//DM
\(\Rightarrow\frac{FE}{DM}=\frac{BE}{BM}\) (hệ quả Thales) (4)
Xét tam giác BMC có EG//MC
\(\Rightarrow\frac{EG}{MC}=\frac{BE}{BM}\) (hệ quả Thales) (5)
Từ (4) và (5), suy ra \(\frac{EF}{DM}=\frac{EG}{MC}\)
mà DM=MC (cmt)
\(\Rightarrow EF=EG\)
Tương tự, có FH=EF
=> GE=EF=FH

a) Xét tam giác EMC có AB//MC
\(\Rightarrow\frac{EA}{EC}=\frac{AB}{MC}\) (hệ quả Thales)(1)
mà M là trung điểm CD => MC=CD/2
\(\Rightarrow\frac{EA}{EC}=\frac{AB}{\frac{DC}{2}}=\frac{2AB}{DC}\)
b) Xét tam giác EMC có AB//MC
\(\Rightarrow\frac{AF}{FM}=\frac{AB}{DM}\) (hệ quả Thales)(2)
Vì M là trung điểm BC nên MC=DM (3)
Từ (1), (2) và (3), suy ra \(\frac{AF}{FM}=\frac{EA}{EC}\)
=> EF//MC hay EF//DC (Thales đảo)
c) Xét tam giác BDM có EF//DM
\(\Rightarrow\frac{FE}{DM}=\frac{BE}{BM}\) (hệ quả Thales) (4)
Xét tam giác BMC có EG//MC
\(\Rightarrow\frac{EG}{MC}=\frac{BE}{BM}\) (hệ quả Thales) (5)
Từ (4) và (5), suy ra \(\frac{EF}{DM}=\frac{EG}{MC}\)
mà DM=MC (cmt)
\(\Rightarrow EF=EG\)
Tương tự, có FH=EF
=> GE=EF=FH

a: Xét ΔEAB và ΔECM có

\(\hat{EAB}=\hat{ECM}\) (hai góc so le trong, AB//CM)

\(\hat{AEB}=\hat{CEM}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔEAB~ΔECM

=>\(\frac{EA}{EC}=\frac{AB}{CM}=\frac{AB}{0,5CD}=\frac{2AB}{CD}\)

b: Xét ΔFBA và ΔFDM có

\(\hat{FBA}=\hat{FDM}\) (hai góc so le trong, BA//DM)

\(\hat{BFA}=\hat{DFM}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔFBA~ΔFDM

=>\(\frac{FB}{FD}=\frac{FA}{FM}=\frac{AB}{DM}=\frac{2AB}{DC}\)

=>\(\frac{FB}{FD}=\frac{FA}{FM}=\frac{EA}{EC}\)

Xét ΔAMC có \(\frac{AF}{FM}=\frac{AE}{EC}\)

nên EF//MC

=>EF//CD
c: Xét ΔBMC có EG//MC

nên \(\frac{EG}{MC}=\frac{BE}{BM}\) (1)

Xét ΔBDM có FE//DM

nên \(\frac{FE}{DM}=\frac{BE}{BM}\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(\frac{EG}{MC}=\frac{FE}{DM}\)

mà MC=DM

nên EG=FE(3)

Xét ΔAMC có FE//MC

nên \(\frac{FE}{MC}=\frac{AF}{AM}\) (4)

Xét ΔADM có FH//DM

nên \(\frac{FH}{DM}=\frac{AF}{AM}\) (5)

Từ (4),(5) suy ra \(\frac{FE}{MC}=\frac{FH}{DM}\)

mà MC=DM

nên FE=FH(6)

Từ (3),(6) suy ra FE=FH=EG

a: Xét tứ giác AEMF có

AE//MF

AF//ME

Do đó: AEMF là hình bình hành

b: Xét ΔABC có

M là trung điểm của BC

ME//AB

Do đó: E là trung điểm của AC

Xét ΔABC có

M là trung điểm của BC

MF//AC

Do đó: F là trung điểm của AB

Hình bình hành AEMF trở thành hình vuông khi AE=AF và \(\hat{EAF}=90^0\)

AE=AF

mà \(AE=\frac{AC}{2};AF=\frac{AB}{2}\)

nên AC=AB

\(\hat{EAF}=90^0\)

=>\(\hat{BAC}=90^0\)

c:

Xét ΔABC có

E,F lần lượt là trung điểm của AC,AB

=>EF là đường trung bình của ΔABC

=>\(EF=\frac{BC}{2}\)

\(\frac{AF}{AB}+\frac{EF}{BC}=\frac12+\frac12=1\)

Do ∆ABC cân tại A (gt)

⇒ AB = AC và ∠ABC = ∠ACB = (180⁰ - ∠BAC) : 2

Do BD là phân giác của ∠ABC (gt)

⇒ ∠ABD = ∠CBD = ∠ABC : 2

Do CE là phân giác của ∠ACB (gt)

⇒ ∠ACE = ∠BCE = ∠ACB : 2

Mà ∠ABC = ∠ACB (cmt)

⇒ ∠ABD = ∠ACE

Xét ∆ABD và ∆ACE có:

∠A chung

AB = AC (cmt)

∠ABD = ∠ACE (cmt)

⇒ ∆ABD = ∆ACE (g-c-g)

⇒ AD = AE (hai cạnh tương ứng)

⇒ ∆ADE cân tại A

⇒ ∠AED = ∠ADE = (180⁰ - ∠EAD) : 2 = (180⁰ - ∠BAC) : 2

Mà ∠ABC = (180⁰ - ∠BAC) : 2 (cmt)

⇒ ∠AED = ∠ABC

Mà ∠AED và ∠ABC là hai góc đồng vị

⇒ ED // BC

⇒ BEDC là hình thang (1)

Do ∠ABC = ∠ACB (cmt)

⇒ ∠EBC = ∠DCB (2)

Từ (1) và (2) suy ra BEDC là hình thang cân (3)

Do DE // BC (cmt)

⇒ ∠EDB = ∠CBD (so le trong)

Do ∠ABD = ∠CBD (cmt)

⇒ ∠EBD = ∠CBD

Mà ∠CBD = ∠EDB (cmt)

⇒ ∠EDB = ∠EBD

⇒ ∆EBD cân tại E

⇒ ED = EB (4)

Từ (3) và (4) suy ra BEDC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên

a: Xét ΔEAB và ΔECM có

\(\hat{EAB}=\hat{ECM}\) (hai góc so le trong, AB//CM)

\(\hat{AEB}=\hat{CEM}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔEAB~ΔECM

=>\(\frac{EA}{EC}=\frac{AB}{CM}=\frac{AB}{0,5CD}=\frac{2AB}{CD}\)

b: Xét ΔFBA và ΔFDM có

\(\hat{FBA}=\hat{FDM}\) (hai góc so le trong, BA//DM)

\(\hat{BFA}=\hat{DFM}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔFBA~ΔFDM

=>\(\frac{FB}{FD}=\frac{FA}{FM}=\frac{AB}{DM}=\frac{2AB}{DC}\)

=>\(\frac{FB}{FD}=\frac{FA}{FM}=\frac{EA}{EC}\)

Xét ΔAMC có \(\frac{AF}{FM}=\frac{AE}{EC}\)

nên EF//MC

=>EF//CD
c: Xét ΔBMC có EG//MC

nên \(\frac{EG}{MC}=\frac{BE}{BM}\) (1)

Xét ΔBDM có FE//DM

nên \(\frac{FE}{DM}=\frac{BE}{BM}\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(\frac{EG}{MC}=\frac{FE}{DM}\)

mà MC=DM

nên EG=FE(3)

Xét ΔAMC có FE//MC

nên \(\frac{FE}{MC}=\frac{AF}{AM}\) (4)

Xét ΔADM có FH//DM

nên \(\frac{FH}{DM}=\frac{AF}{AM}\) (5)

Từ (4),(5) suy ra \(\frac{FE}{MC}=\frac{FH}{DM}\)

mà MC=DM

nên FE=FH(6)

Từ (3),(6) suy ra FE=FH=EG

Không dùng Thales thì chịu chết bạn ơi :))

a: Xét tứ giác ADME có \(\hat{ADM}=\hat{AEM}=\hat{DAE}=90^0\)

nên ADME là hình chữ nhật

b: Ta có: MD⊥AB

AC⊥BA

Do đó: MD//AC

Xét ΔABC có

M là trung điểm của BC

MD//AC

Do đó:D là trung điểm của AB

Xét ΔABC có

M,D lần lượt là trung điểm của BC,BA

=>MD là đường trung bình của ΔABC

=>\(MD=\frac{AC}{2}\)

=>\(AC=2\cdot MD=2\cdot9,5=19\left(\operatorname{cm}\right)\)

c: Xét ΔEAB có EH là phân giác

nên \(\frac{AH}{HB}=\frac{EA}{EB}\) (1)

Xét ΔEBC có EK là phân giác

nên \(\frac{CK}{KB}=\frac{CE}{EB}\) (2)

Xét ΔABC có

M la trung điểm của BC

ME//AB

Do đó: E là trung điểm của AC

=>EA=EC(3)

Từ (1),(2),(3) suy ra \(\frac{CK}{KB}=\frac{AH}{HB}\)

=>\(\frac{BK}{BC}=\frac{BH}{BA}\)

Xét ΔBKH và ΔBCA có

\(\frac{BK}{BC}=\frac{BH}{BA}\)

góc KBH chung

Do đó: ΔBKH~ΔBCA

=>\(\hat{BKH}=\hat{BCA}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí đông vị

nên KH//AC

a: Xét ΔABC có

M,D lần lượt là trung điểm của BC,BA

=>MD là đường trung bình của ΔABC

=>MD//AC

=>MD⊥AB tại D
Ta có: AB⊥ME tại D

D là trung điểm của ME

Do đó: AB là đường trung trực của ME

=>E đối xứng M qua BA

b: Xét tứ giác AMBE có

D là trung điểm chung của AB và ME

=>AMBE là hình bình hành

Hình bình hành AMBE có AB⊥ME

nên AMBE là hình thoi

=>AE//MB và AE=MB

AE//MB

=>AE//MC

AE=MB

MB=MC

Do đó: AE=MC

Xét tứ giác AEMC có

AE//MC

AE=MC

Do đó: AEMC là hình bình hành

c: M là trung điểm của BC

=>\(BM=\frac{BC}{2}=\frac42=2\left(\operatorname{cm}\right)\)

Chu vi hình thoi AMBE là:

\(C_{AMBE}=4\cdot BM=4\cdot2=8\left(\operatorname{cm}\right)\)