a, Ta có: \(S \in (SAD) \cap (SBC)\)

Trong mặt phẳng đáy \((ABCD)\), gọi \(E = AD \cap BC\)

Khi đó:

+) \(E \in AD \subset (SAD)\)

+) \(E \in BC \subset (SBC)\)

+) \(\Rightarrow E\in(SAD)\cap(SBC)\)

Vậy giao tuyến của \((SAD)\) và \((SBC)\) là đường thẳng \(SE\) .

b, Trong mặt phẳng\((SAD)\), gọi \(I = SE \cap SD\)

Tìm giao tuyến của \(SAD\) và \(BCM\)

Điểm \(M \in SA \subset (SAD)\) và \(M \in (BCM) \Rightarrow M \in (SAD) \cap (BCM)\)

Điểm \(E \in AD \subset (SAD)\) và \(E \in BC \subset (BCM) \Rightarrow E \in (SAD) \cap (BCM)\).

Do đó, \((SAD) \cap (BCM) = ME\)

Trong mặt phẳng\((SAD)\), gọi \(I = ME \cap SD\)

Khi đó: \(I \in SD\) và \(I \in ME \subset (BCM) \Rightarrow I = SD \cap (BCM)\)

Tính tỉ số \(\frac{SI}{SD}\)

Xét hình thang \(ABCD\) có \(AB \parallel CD\) và \(AB = 2CD\)

Do \(CD \parallel AB\), theo định lý Ta-lét trong \(\triangle EAB\) :

\(\frac{ED}{EA} = \frac{EC}{EB} = \frac{CD}{AB} = \frac{1}{2}\)

\(\Longrightarrow\) \(D\) là trung điểm của \(AE\) \(\left(AD=DE\right)\)

Áp dụng định lý Menelaus cho \(\triangle SAD\) với đường thẳng \(M-I-E\) cắt ba cạnh/đường kéo dài (\(SA,SD,AE\)):

\(\frac{MS}{MA} \cdot \frac{EA}{ED} \cdot \frac{ID}{IS} = 1\)

Theo giả thiết \(MA = 2MS \Rightarrow \frac{MS}{MA} = \frac{1}{2}\)

Do D là trung điểm \(AE \Rightarrow \frac{EA}{ED} = 2\)

Thay vào công thức Menelaus:

\(\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \frac{ID}{IS} = 1 \implies \frac{ID}{IS} = 1 \implies IS = ID\)

Do đó, \(I\) là trung điểm của \(SD\) , suy ra:

\(\frac{SI}{SD} = \frac{1}{2}\)

c, Lần lượt tìm giao tuyến của \(MBC\) với các mặt của hình chóp:

\((MBC) \cap (SAB) = MB\)

\((MBC) \cap (ABCD) = BC\)

\((MBC) \cap (SCD) = CI\) (vì \(I \in SD \subset (SCD)\) và \(C, I \in (MBC)\) )

\((MBC) \cap (SAD) = MI\)

Nối các giao tuyến lại, ta thu được thiết diện là tứ giác \(MBCI\) .

Để giá trị của các hàm số \(y=\tan\left(\frac{\pi}{4}-x\right);y=\tan2x\) bằng nhau thì ta có:

\(2x=\frac{\pi}{4}-x+k\pi\)

=>\(3x=\frac{\pi}{4}+k\pi\)

=>\(x=\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{3}\) (k∈Z)

e: Ta có: \(\frac{\pi}{2}\le\alpha\le\pi\)

=>\(cos\alpha<0;\tan\alpha<0;\cot\alpha<0\)

Ta có: \(\sin^2\alpha+cos^2\alpha=1\)

=>\(cos^2\alpha=1-\left(\frac{12}{13}\right)^2=1-\frac{144}{169}=\frac{25}{169}\)

mà \(cos\alpha<0\)

nên \(cos\alpha=-\frac{5}{13}\)

\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{cos\alpha}=\frac{12}{13}:\frac{-5}{13}=-\frac{12}{5}\)

\(\cot\alpha=\frac{1}{\tan\alpha}=1:\frac{-12}{5}=-\frac{5}{12}\)

f: \(\tan\alpha\cdot\cot\alpha=1\)

=>\(\cot\alpha=\frac13\)

\(\alpha\in\left(\pi;\frac32\pi\right)\)

=>\(\sin\alpha<0;cos\alpha<0\)

Ta có \(1+\tan^2\alpha=\frac{1}{cos^2\alpha}\)

=>\(\frac{1}{cos^2\alpha}=1+3^2=10\)

=>\(cos^2\alpha=\frac{1}{10}\)

=>\(cos\alpha=-\frac{1}{\sqrt{10}}\)

TA có: \(\sin^2\alpha+cos^2\alpha=1\)

=>\(\sin^2\alpha=1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}\)

mà \(\sin\alpha<0\)

nên \(\sin\alpha=-\frac{3}{\sqrt{10}}\)