Ta hiểu đề là: AA' = 2a và AA' vuông góc với (ABC), nên đây là lăng trụ đứng.

Bài giải

Vì ABC là tam giác đều cạnh a nên:
AB = BC = CA = a.
Lại có AA' = BB' = CC' = 2a và BB' vuông góc với (ABC).

a) Tính góc giữa B'C và (ABC)

Hình chiếu vuông góc của điểm B' lên (ABC) là B, còn C nằm sẵn trên (ABC), nên hình chiếu của đường thẳng B'C lên (ABC) là BC.

Vậy góc giữa B'C và (ABC) chính là góc giữa B'C và BC, tức là góc B'CB.

Xét tam giác CBB', ta có:
BB' vuông góc với (ABC) nên BB' vuông góc với BC.
Do đó tam giác CBB' vuông tại B.

Lại có:
BC = a, BB' = 2a

Suy ra:
B'C = căn(BC² + BB'²)
= căn(a² + (2a)²)
= căn(5a²)
= a căn 5

Gọi góc giữa B'C và (ABC) là α, ta có:
sin α = BB'/B'C = 2a/(a căn 5) = 2/căn 5

Do đó:
α = arctan 2
hoặc có thể viết:
sin α = 2/căn 5, cos α = 1/căn 5.

b) Tính sin của góc giữa BM và (BCC'B')

Gọi β là góc giữa BM và (BCC'B').

Vì M là trung điểm của A'B' nên:
A'M = MB' = a/2

Xét tam giác vuông A'BM:
BA' = căn(AB² + AA'²)
= căn(a² + (2a)²)
= a căn 5

Do M là trung điểm A'B', nên trong tam giác vuông A'BB', ta có:
BM = căn(BB'² + B'M²)
= căn((2a)² + (a/2)²)
= căn(4a² + a²/4)
= căn(17a²/4)
= a căn 17 / 2

Bây giờ ta tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (BCC'B').

Do (BCC'B') là mặt bên của lăng trụ đứng, nên giao tuyến của nó với đáy là BC.
Vì M nằm trên mặt phẳng trên A'B', nên khoảng cách từ M đến (BCC'B') chính bằng khoảng cách từ hình chiếu của M trên đáy đến BC.

Hình chiếu vuông góc của M xuống (ABC) là trung điểm N của AB.
Vì M là trung điểm A'B' nên N là trung điểm AB.

Trong tam giác đều ABC cạnh a, khoảng cách từ trung điểm N của AB đến cạnh BC là:
d(N,BC) = a căn 3 / 4

Vậy:
d(M,(BCC'B')) = a căn 3 / 4

Do B thuộc (BCC'B'), nên:
sin β = d(M,(BCC'B')) / BM
= (a căn 3 / 4) / (a căn 17 / 2)
= căn 3 / (2 căn 17)

Suy ra:
sin β = căn 3 / (2 căn 17)
= căn 51 / 34

Đáp số:

a) Góc giữa B'C và (ABC) thỏa mãn
sin α = 2/căn 5
nên α = arctan 2.

b) sin của góc giữa BM và (BCC'B') là
căn 3 / (2 căn 17)
hay căn 51 / 34.

Câu a.

Đặt hệ trục tọa độ
A(0,0,0), B(a,0,0), C(a,a,0), D(0,a,0)
S(0,0,a√2)

M thuộc AD nên
M(0,x,0), 0 ≤ x ≤ a

Mặt phẳng (SBC)

SB = (a,0,-a√2)
SC = (a,a,-a√2)

Vector pháp tuyến n = SB × SC

n = (a√2 , 0 , a)

Phương trình mặt phẳng (SBC)
√2 x + z - a√2 = 0

Khoảng cách từ M đến (SBC)

MH = |√2.0 + 0 - a√2| / √( (√2)^2 + 1^2 )

MH = a√2 / √3

Câu b.

Dựng mặt phẳng (P) qua M vuông góc AC

Qua M kẻ đường thẳng d vuông góc AC trong mặt phẳng đáy
Qua d dựng mặt phẳng (P)

(P) cắt các cạnh SA, SB, SC, SD tại các điểm tương ứng
Nối các giao điểm theo thứ tự ta được thiết diện là một đa giác

Câu c.

Diện tích thiết diện phụ thuộc vào vị trí M trên AD

Diện tích lớn nhất khi M là trung điểm AD

x = a/2

Câu 1.

ABCD là hình vuông cạnh a
SA ⟂ (ABCD), SA = a√2

AB ⟂ SA nên tam giác SAB vuông tại A

SB² = SA² + AB²
SB² = (a√2)² + a² = 2a² + a² = 3a²
SB = a√3

AC = a√2

SC² = SA² + AC²
SC² = 2a² + 2a² = 4a²
SC = 2a

Trong mặt phẳng (SAB), hình chiếu của C lên (SAB) là B

cos góc(SC,(SAB)) = SB/SC

cos = (a√3)/(2a) = √3/2

Góc = 30°

Câu 2.

ABCD là hình thoi cạnh a, O là giao hai đường chéo

OB = a√3/3
SO = a√6/3, SO ⟂ (ABCD)

SB² = SO² + OB²
SB² = (a√6/3)² + (a√3/3)²
SB² = 2a²/3 + a²/3 = a²

SB = a

Tam giác SBC cân

cos góc phẳng nhị diện [A,BC,S] = 1/2

Góc = 60°

Câu 3.

Hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'

AB = a
AA' = a√3

AB ⟂ AD, AB ⟂ AA'

Trong mặt phẳng (ABD)

BD = a√2

Xét tam giác AB'D

AB'² = AB² + AA'²
AB'² = a² + 3a² = 4a²
AB' = 2a

AD = a

BD = a√2

cos góc phẳng nhị diện [C',AB,D] = AD/AB'

cos = a/(2a) = 1/2

cos = 1/2

Gọi SA = h.

Vì ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O nên:
OA = đường chéo/2 = (a√2)/2 = a/√2.

S chiếu vuông góc xuống (ABCD) tại A nên hình chiếu của SO lên (ABCD) chính là AO.
Góc giữa SO và (ABCD) bằng 60 độ nên:
tan 60 độ = SA / AO
√3 = h / (a/√2)
h = (a/√2)·√3 = a√6/2.

Xét mặt phẳng (SAD): vì SA vuông góc (ABCD) và AD nằm trong (ABCD) nên (SAD) là mặt phẳng “đứng” đi qua AD (tương đương mặt phẳng có phương thẳng đứng và chứa AD).

Xét đường thẳng SB:
Từ S xuống B, độ “lệch” theo phương vuông góc với (SAD) chính là AB = a.
Còn độ dài hình chiếu của SB lên (SAD) chính là độ cao h (vì phần còn lại nằm theo phương thẳng đứng).

Do đó, nếu gọi góc giữa SB và (SAD) là φ thì:
tan φ = (khoảng cách vuông góc tới (SAD)) / (độ dài hình chiếu lên (SAD)) = a / h.

Thay h = a√6/2:
tan φ = a / (a√6/2) = 2/√6 = √6/3.

Đáp số: tan góc giữa SB và (SAD) bằng √6/3.

Câu 4:

\(\sqrt{x\cdot\sqrt{x\cdot\sqrt{x\cdot\sqrt{x}}}}:x^{\frac{11}{16}}\)

\(=\sqrt{x\cdot\sqrt{x\cdot\sqrt{x\cdot x^{\frac12}}}}:x^{\frac{11}{16}}\)

\(=\sqrt{x\cdot\sqrt{x\cdot\sqrt{x^{\frac32}}}}:x^{\frac{11}{16}}\)

\(=\sqrt{x\cdot\sqrt{x\cdot x^{\frac32\cdot\frac12}}}:x^{\frac{11}{16}}\)

\(=\sqrt{x\cdot\sqrt{x\cdot x^{\frac34}}}:x^{\frac{11}{16}}\)

\(=\sqrt{x\cdot\sqrt{x^{\frac74}}}:x^{\frac{11}{16}}\)

\(=\sqrt{x\cdot x^{\frac74\cdot\frac12}}:x^{\frac{11}{16}}=\sqrt{x\cdot x^{\frac78}}:x^{\frac{11}{16}}=\sqrt{x^{\frac{15}{8}}}:x^{\frac{11}{16}}=x^{\frac{15}{16}-\frac{11}{16}}=x^{\frac{4}{16}}=x^{\frac14}=\sqrt[4]{x}\)

=>Chọn A

Câu 2:

\(a^{\frac23}\cdot\sqrt{a}=a^{\frac23}\cdot a^{\frac12}=a^{\frac23+\frac12}=a^{\frac76}\)

=>x=7/6

\(\sqrt[3]{b\cdot\sqrt{b\cdot\sqrt{b}}}=\sqrt[3]{b\cdot\sqrt{b\cdot b^{\frac12}}}=\sqrt[3]{b\cdot\sqrt{b^{\frac32}}}=\sqrt[3]{b\cdot b^{\frac34}}=\sqrt[3]{b^{\frac74}}\)

\(=b^{\frac74\cdot\frac13}=b^{\frac{7}{12}}\)

=>y=7/12

6x+12y=7+7=14

=>Chọn C

Câu 3:

\(\sqrt[21]{a^5}>\sqrt[7]{a^2}\)

=>\(a^{\frac{5}{21}}>a^{\frac27}\)

=>\(a^5>a^6\)

=>\(a^5-a^6>0\)

=>\(a^5\left(1-a\right)>0\)

=>\(a^5\left(a-1\right)<0\)

=>0<a<1

=>Chọn B

Câu 18: \(P=2^{x}+2^{-x}\)

=>\(P^2=\left(2^{x}+2^{-x}\right)^2=2^{2x}+2^{-2x}+2\cdot2^{x}\cdot2^{-x}=4^{x}+4^{-x}+2\)

=23+2

=25

=>P=5