9.

a. Đúng

M là trung điểm SA, N là trung điểm SD nên MN là đường trung bình tam giác SAD

\(\Rightarrow MN||AD\Rightarrow MN||BC\) (do \(AD||BC\))

\(\Rightarrow MN||\left(SBC\right)\) (1)

b. Đúng

O là tâm đáy nên O là trung điểm AC

\(\Rightarrow OM\) là đường trung bình tam giác SAC

\(\Rightarrow OM||SC\)

\(\Rightarrow OM||\left(SBC\right)\) (2)

Mà OM cắt MN tại M (3)

(1);(2);(3) \(\Rightarrow\left(OMN\right)||\left(SBC\right)\) (4)

c. Sai

E là trung điểm AB nên OE là đường trung bình tam giác ABD

\(\Rightarrow OE||AD\Rightarrow OE||MN\Rightarrow E\in\left(OMN\right)\)

\(F\in ON\in\left(OMN\right)\Rightarrow EF\in\left(OMN\right)\) (5)

Từ (4);(5) \(\Rightarrow EF||\left(SBC\right)\)

d. Sai

O là tâm đáy nên O cách đều AB và CD

G cách đều AB và CD theo gt

\(\Rightarrow OG||AB||CD\) (6)

Lại có ON là đường trung bình tam giác SBD \(\Rightarrow ON||SB\) (7)

(6);(7) \(\Rightarrow\left(ONG\right)||\left(SAB\right)\)

\(\Rightarrow GN||\left(SAB\right)\)

Hình vẽ bài 9:

10.

a. Đúng

\(\left\{{}\begin{matrix}AB||CD\\AB||EF\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow CD||EF\) (1)

\(\Rightarrow EFDC\) là hình thang

b. Đúng

\(\left\{{}\begin{matrix}AB=CD\\AB=EF\end{matrix}\right.\) (t/c hbh) \(\Rightarrow CD=EF\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow EFDC\) là hình bình hành

\(\Rightarrow FD||EC\) (3)

c. Đúng

Do ABCD là hình bình hành \(\Rightarrow AD||BC\) (4)

Mà AD cắt DF tại D, EC cắt BC tại C (5)

(3);(4);(5) \(\Rightarrow\left(ADF\right)||\left(BCE\right)\)

d. Sai

Gọi G là trung điểm BE, do M là trọng tâm ABE \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}M\in AG\\\dfrac{AM}{AG}=\dfrac{2}{3}\end{matrix}\right.\)

Qua M kẻ đường thẳng song song BE cắt AB tại H

\(MH||BE\Rightarrow MH||AF\) \(\Rightarrow MH||\left(ADF\right)\Rightarrow H\in\left(P\right)\)

Qua H kẻ đường thẳng song song AD cắt AC tại N

\(\Rightarrow N\in\left(P\right)\Rightarrow N=AC\cap\left(P\right)\)

Theo định lý Thales: \(\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{AM}{AG}=\dfrac{2}{3}\)

\(\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{2}{3}\)

\(\Rightarrow3AN=2AC=2\left(AN+NC\right)\)

\(\Rightarrow AN=2NC\Rightarrow\dfrac{AN}{NC}=2\)

6.

a. Đúng, theo tính chất trọng tâm

b. Đúng

Do I là trọng tâm tam giác SAB nên \(\dfrac{SI}{SE}=\dfrac{2}{3}\)

\(\Rightarrow\dfrac{SI}{SE}=\dfrac{SJ}{SF}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow IJ||EF\) (1) theo định lý Thales đảo

\(\Rightarrow IJ||\left(ABCD\right)\)

c. Đúng

\(ABCD\) là hbh \(\Rightarrow BC||AD\Rightarrow BC||\left(SAD\right)\)

E là trung điểm AB, F là trung điểm CD \(\Rightarrow EF||AD||BC\) (2)

\(\Rightarrow BC||\left(SEF\right)\)

d. Sai

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow BC||IJ\)

\(\Rightarrow BC||\left(AIJ\right)\)

Hình vẽ bài 6:

7.

a. Đúng

b. Sai

Mệnh đề đúng là: nếu mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng kia thì hai mặt phẳng song song

c. Sai

Có thể là hai mặt phẳng trùng nhau.

Mệnh đề đúng là: hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.

d. Sai

Hiển nhiên rồi, ví dụ hai mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến d và d song song với d' bất kì

9.

a. Đúng

\(\left\{{}\begin{matrix}S\in\left(SAB\right)\cap\left(SCD\right)\\AB||CD\\AB\in\left(SAB\right);CD\in\left(SCD\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(SAB\right)\cap\left(SCD\right)=Sx||AB||CD\)

b. Sai

Tương tự câu a, ta có giao tuyến của (SAD) và (SBC) là đường  thẳng qua S và song song AD, BD

Mà AD cắt AB nên giao tuyến này ko thể song song AB

c. Đúng

\(\left\{{}\begin{matrix}M\in\left(ABM\right)\\M\in SC\in\left(SCD\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow M\in\left(ABM\right)\cap\left(SCD\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}AB||CD\\AB\in\left(ABM\right)\\CD\in\left(SCD\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(ABM\right)\cap\left(SCD\right)=d\), với d là đường thẳng qua M và song song AB, CD

d. Đúng

Hoàn toàn tương tự câu c

10.

a. Đúng

\(S\in\left(SAC\right)\cap\left(SBD\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}O\in AC\in\left(SAC\right)\\O\in CD\in\left(SCD\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow O\in\left(SAC\right)\cap\left(SBD\right)\)

\(\Rightarrow SO=\left(SAC\right)\cap\left(SBD\right)\)

b. Sai

Trong mp (SAD), qua K kẻ đường thẳng d song song AD cắt SA tại J

\(KJ||AD\Rightarrow KJ||BC\)

Mà \(K\in\left(CKB\right)\Rightarrow KJ\in\left(CKB\right)\Rightarrow J\in\left(CKB\right)\)

\(\Rightarrow J=SA\cap\left(CKB\right)\)

Do \(KJ||AD\), mà AD cắt DC nên KJ ko song song DC

c. Đúng

\(O\in AC\Rightarrow C\in\left(OIA\right)\)

\(\Rightarrow C\in\left(SCD\right)\cap\left(OIA\right)\)

O là trung điểm BD, I là trung điểm SB nên OI là đường trung bình tam giác SBD

\(\Rightarrow OI||SD\)

\(\left\{{}\begin{matrix}C\in\left(SCD\right)\cap\left(OIA\right)\\OI||SD\\OI\in\left(OIA\right);SD\in\left(SCD\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(OIA\right)\cap\left(SCD\right)=Cx||SD\)

d. Đúng

Theo câu b, K là trung điểm SD, mà \(KJ||AD\Rightarrow J\) là trung điểm SA

\(\Rightarrow IJ\) là đường trung bình tam giác SAB

\(\Rightarrow IJ||AB\Rightarrow IJ||CD\)

Hình vẽ bài 10:

7.

a. Đúng

Theo giả thiết thì \(\left(ICD\right)\cap SA=M\)

b.  Sai

I là trung điểm SO \(\Rightarrow SI=IO\)

O là trung điểm BD \(\Rightarrow\dfrac{OD}{DB}=\dfrac{1}{2}\)

Áp dụng định lý Menelaus trong tam giác SBO:

\(\dfrac{SI}{IO}.\dfrac{OD}{DB}.\dfrac{BN}{NS}=1\Leftrightarrow1.\dfrac{1}{2}.\dfrac{BN}{NS}=1\Rightarrow BN=2NS\)

\(\Rightarrow SB-SN=2SN\)

\(\Rightarrow SN=\dfrac{1}{3}SB\)

c. Sai

Tương tự câu b ta có \(SM=\dfrac{1}{3}SA\)

\(\Rightarrow\dfrac{MN}{AB}=\dfrac{SM}{SA}=\dfrac{SN}{SN}=\dfrac{1}{3}\)

\(\Rightarrow MN=\dfrac{1}{3}AB=\dfrac{a}{3}\)

d. Sai

\(S\in\left(SAD\right)\cap\left(SBC\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}K\in CN\in\left(SBC\right)\\K\in DM\in\left(SAD\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow K\in\left(SAD\right)\cap\left(SBC\right)\)

\(\Rightarrow SK=\left(SAD\right)\cap\left(SBC\right)\)

Mà \(AD||BC\Rightarrow SK||AD||BC\)

Hình vẽ bài 7:

8.

a. Đúng

\(K\in CD\in\left(CDE\right)\Rightarrow KE\in\left(CDE\right)\)

\(KE\cap SB=M\)

\(\left\{{}\begin{matrix}M\in SB\\M\in KE\in\left(CDE\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow M=SB\cap\left(CDE\right)\)

b.Sai

\(K\in EM\in\left(EFM\right)\)

\(KF\cap SC=N\Rightarrow N=SC\cap\left(EFM\right)\)

Do đó EM cắt FN tại K nên EFNM ko thể là hình bình hành (1 cặp cạnh đối ko song song mà cắt nhau)

c. Đúng

\(SK=\left(SAB\right)\cap\left(SCD\right)\)

\(AM=\left(ADNM\right)\cap\left(SAB\right)\)

\(DN=\left(ADNM\right)\cap\left(SCD\right)\)

Do đó 3 mặt phẳng (SAB), (SCD), (ADNM) cắt nhau theo 3 giao tuyến phân biệt là SK, AM, DN nên 3 đường thẳng này  đồng quy

d.  Sai

Do \(AD=2BC\Rightarrow BC\) là đường trung bình tam giác KAD

\(\Rightarrow B\) là trung điểm AK

\(\Rightarrow M\) là trọng tâm tam giác SAK

\(\Rightarrow\dfrac{SM}{SB}=\dfrac{2}{3}\)

Tương tự ta có N là trọng tâm tam giác SDK nên \(\dfrac{SN}{SC}=\dfrac{2}{3}\)

\(\Rightarrow\dfrac{MN}{BC}=\dfrac{SM}{SB}=\dfrac{SN}{SC}=\dfrac{2}{3}\) \(\Rightarrow MN=\dfrac{2}{3}BC=\dfrac{1}{3}AD\)

Lại có EF là đường trung bình tam giác SAD nên \(EF=\dfrac{1}{2}AD\)

\(\Rightarrow\dfrac{MN}{EF}=\dfrac{2}{3}\)

Hai tam giác KMN và KEF đồng dạng theo tỉ số \(k=\dfrac{MN}{EF}=\dfrac{2}{3}\)

\(\Rightarrow\dfrac{S_{KMN}}{S_{KEF}}=k^2=\dfrac{4}{9}\)