Question

Xét hai số thực dương x,y thỏa mãn \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{6}{y}=2\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P = \(4x+y+\dfrac{2}{x^2}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{42}{y}\)

Answer 1

Ta có:  \(P=4x+y+\dfrac{2}{x^2}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{42}{y}\)

\(\Rightarrow P=2x+2x+\dfrac{2}{x^2}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{6}{y}+y+\dfrac{36}{y}\)

Theo bất đẳng thức AM-GM:

\(2x+2x+\dfrac{2}{x^2}\ge3\sqrt[3]{2x.2x.\dfrac{2}{x^2}}=6\)

\(y+\dfrac{36}{y}\ge2\sqrt{y.\dfrac{36}{y}}=12\)

\(\Rightarrow P\ge2+6+12=20\)

Lúc này:

\(y=\dfrac{36}{y}\Rightarrow y=6\left(y>0\right)\)

\(2x=2x=\dfrac{2}{x^2}\Rightarrow2x=\dfrac{2}{x^2}\Rightarrow x=1\)

Vậy min P = 20 khi x = 1; y = 6