Xét (O) có
\(\widehat{MPA}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến PM và dây cung PA
\(\widehat{PBA}\) là góc nội tiếp chắn cung PA
Do đó: \(\widehat{MPA}=\widehat{PBA}\)
Xét ΔMPA và ΔMBP có
\(\widehat{MPA}=\widehat{MBP}\)
\(\widehat{PMA}\) chung
Do đó: ΔMPA~ΔMBP
=>\(\dfrac{MP}{MB}=\dfrac{MA}{MP}\)
=>\(MP^2=MA\cdot MB\)
Xét (O) có
MP,MQ là các tiếp tuyến
Do đó: MP=MQ
=>M nằm trên đường trung trực của PQ(1)
ta có: OP=OQ
=>O nằm trên đường trung trực của PQ(2)
Từ (1),(2) suy ra MO là đường trung trực của PQ
=>MO\(\perp\)PQ tại H
Xét ΔMPO vuông tại P có PH là đường cao
nên \(MH\cdot MO=MP^2\)
=>\(MH\cdot MO=MA\cdot MB\)
=>\(\dfrac{MH}{MB}=\dfrac{MA}{MO}\)
Xét ΔMHA và ΔMBO có
\(\dfrac{MH}{MB}=\dfrac{MA}{MO}\)
\(\widehat{HMA}\) chung
Do đó: ΔMHA~ΔMBO
=>\(\widehat{MAH}=\widehat{MOB}\)
mà \(\widehat{MAH}+\widehat{BAH}=180^0\)
nên \(\widehat{BAH}+\widehat{BOH}=180^0\)
=>BAHO là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{BAO}=\widehat{BHO}\)
