Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A 0 ; 1 ; 1 , B 3 ; 0 ; − 1 , C 0 ; 21 ; − 19 và mặt cầu S : x − 1 2 + y − 1 2 + z − 1 1 = 1. M a , b , c là điểm thuộc mặt cầu S sao cho biểu thức T = 3 M A 2 + 2 M B 2 + M C 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng a + b + c .
A. a + b + c = 14 5
B. a + b + c = 0
C. a + b + c = 12 5
D. a + b + c = 12
Đáp án A
Mặt cầu (S) có tâm I(1;1;1). Gọi E là điểm thoả 3 E A → + 2 E B → + E C → = 0 → ⇒ E ( 1 ; 4 ; − 3 ) . T = 6 M E 2 + 3 E A 2 + 2 E B 2 + E C 2
T nhỏ nhất khi ME nhỏ nhất ⇔ M là 1 trong 2 giao điểm của đường thẳng IE và mặt cầu (S).
I E → = ( 0 ; 3 ; − 4 ) , E M → = ( a − 1 ; b − 4 ; c + 3 )
I E → , M E → cùng phương ⇔ E M → = k I E → ⇔ a − 1 = 0 b − 4 = 3 k c + 3 = − 4 k ⇔ a = 1 b = 3 k + 4 c = − 4 k − 3
M ∈ ( S ) ⇒ ( 3 k + 3 ) 2 + ( − 4 k − 4 ) 2 = 1 ⇔ k = − 4 5 k = − 6 5
k = − 4 5 ⇒ M 1 1 ; 8 5 ; 1 5 ⇒ E M 1 = 208 5
k = − 6 5 ⇒ M 2 1 ; 2 5 ; 9 5 ⇒ E M 2 = 6 > E M 1 (Loại)
Vậy M 1 ; 8 5 ; 1 5