Ta thấy mỗi số hạng của tổng trên là tích của hai số tự nhên liên tiếp, khi đó:
Gọi a1 = 1.2 → 3a1 = 1.2.3 → 3a1 = 1.2.3 - 0.1.2
a2 = 2.3 → 3a2 = 2.3.3 → 3a2 = 2.3.4 - 1.2.3
a3 = 3.4 → 3a3 = 3.3.4 → 3a3 = 3.4.5 - 2.3.4
…………………..
an-1 = (n - 1)n → 3an-1 =3(n - 1)n → 3an-1 = (n - 1)n(n + 1) - (n - 2)(n - 1)n
an = n(n + 1) → 3an = 3n(n + 1) → 3an = n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1)
Cộng từng vế của các đẳng thức trên ta có:
3(a1 + a2 + … + an) = n(n + 1)(n + 2)
\(3\left[1.2+2.3+...+n\left(n+1\right)\right]=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\Rightarrow A=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}\)
A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n.(n+1)
=> 3A = 1.2.3 + 2.3.(4-1) + 3.4.(5-2) + ... + n(n+1).(n+2-n-1)
= 1.2.3 + 2.3.4 - 1.2.3 + 3.4.5 - 2.3.4 + ...+ n(n+1).(n+2) - (n-1).n.(n+1)
= n(n+1).(n+2)
=> A = \(\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}\)
Vậy \(A=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}\)
