Question

Tìm x nguyên dương để P = 2A:B đạt giá trị nhỏ nhất biết \(A=\dfrac{\sqrt{x}+1}{x-9}\) và \(B=\dfrac{2}{\sqrt{x}-3}\)

Answer 1

Lời giải:
ĐKXĐ: $x\geq 0; x\neq 9$

\(P=2A:B=\frac{2(\sqrt{x}+1)}{x-9}: \frac{2}{\sqrt{x}-3}=\frac{2(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}.\frac{\sqrt{x}-3}{2}=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+3}\)

\(P=1-\frac{2}{\sqrt{x}+3}\)

Để $P$ nhỏ nhất thì $\frac{2}{\sqrt{x}+3}$ lớn nhất

$\Leftrightarrow \sqrt{x}+3$ nhỏ nhất

Với $x$ nguyên dương, $\sqrt{x}+3$ nhỏ nhất bằng $\sqrt{1}+3=4$ khi $x=1$

$\Rightarrow P_{\min}=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+3}=\frac{1+1}{1+3}=\frac{1}{2}$