Lời giải:
Từ \(x^3+y^3+z^3=nx^2y^2z^2\Rightarrow n=\frac{x}{y^2z^2}+\frac{y}{x^2z^2}+\frac{z}{x^2y^2}\)
Gọi \(x=\max (x,y,z)\)
Ta thấy \(x^2|x^3+y^3+z^3\rightarrow x^2|y^3+z^3\rightarrow y^3+z^3\geq x^2\)
TH1: \(x>y^2z^2\)
\(\Rightarrow y^3+z^3>y^4z^4\Leftrightarrow y^3(1-\frac{yz^4}{2})+z^3(1-\frac{y^4z}{2})>0 \)
Nếu \(yz\geq 2\) thì điều trên hoàn toàn vô lý. Suy ra \(yz\leq 1\rightarrow y=z=1\)
\(\Rightarrow x^3+2=nx^2\rightarrow x^2|2\rightarrow x=1\), ta thu được \(n=3\)
TH2: \(x< y^2z^2\)
Khi đó \(n=\frac{x}{y^2z^2}+\frac{y}{x^2z^2}+\frac{z}{x^2y^2}\leq \frac{3x}{y^2z^2}<3\)
\(\Rightarrow n=1,2\)
Ta sẽ thử xem hai giá trị này có thỏa mãn không.
Với \(n=1\) \(\Rightarrow x^3+y^3+z^3=x^2y^2z^2\)
Cho \(z=1\Rightarrow x=3,y=2\) (biến đổi PT tích) thỏa mãn nên $n=1$ cũng thỏa mãn.
Với \(n=2\) \(\Rightarrow 2=\frac{x}{y^2z^2}+\frac{y}{x^2z^2}+\frac{z}{x^2y^2}<1+\frac{y}{x^2z^2}+\frac{z}{x^2y^2}\)
\(\Rightarrow y^3+z^3\geq x^2y^2z^2\geq y^3z^3\) do $x$ max
\(\Rightarrow (y^3-1)(z^3-1)\leq 1\) nên \((y^3-1)(z^3-1)=0,1\)
Dễ thấy \((y^3-1)(z^3-1)=1\) không thỏa mãn nên \((y^3-1)(z^3-1)=0\). nên tồn tại một số bằng $1$, giả sử là $y=1$
Bên trên vừa chỉ ra được \(y^3+z^3\geq x^2y^2z^2\Rightarrow z^3+1\geq x^2z^2\geq z^4\)
\(\Rightarrow 1\geq z^3(z-1)\rightarrow z=1\)
Thay vào PT ban đầu ta không thu được nghiệm $x$ thỏa mãn
Vậy \(n\in\left\{1,3\right\}\)
P/s: Bài này là 1 bài trong China TST 1987, nó là toán olympiad nên để trong box toán 9 không hợp lý
Trên mạng tất nhiên đã có lời giải cho bài toán này, nói chung là ý tưởng cũng xêm xêm nhau.
Đây là bài làm của mình từ năm lớp 10, ý tưởng hoàn toàn độc lập, coi như mình cũng chỉ "viết lại" thôi.
Từ điều kiện dễ dàng suy ra \(x^3+y^3\ge z^2\)
Không mất tính tổng quát giả sử \(x\le y\le z\)
Ta có: \(z=nx^2y^2-\frac{x^3+y^3}{z^2}\ge nx^2y^2-(x+y)\)
Do \(x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)\leq (x+y)y^2\)
\(\Rightarrow n^2x^4y^4<2nx^2y^2(x+y)+x^3+y^3\)
Và \(nxy<2(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})+\frac{1}{nx^3}+\frac{1}{ny^3} (*)\)
Từ \((*) \Rightarrow x=1\) vì nếu \(x\geq 2\) thì \(y\ge x\ge 2\) vế trái của \((*)\) lớn hơn \(4\) còn vế phải \(\le 3\) (Vô lí)
Vậy \(x=1\) ta có \(ny<2+\frac{2}{y}+\frac{1}{n}+\frac{1}{ny^3} \Rightarrow y\leq3\)
\(x^3+y^3=1+y^3\geq z^2\)
Ta xét \(\left\{{}\begin{matrix}y=1\Rightarrow z=1;n=3\\y=2\Rightarrow z=3;n=1\\y=3\Rightarrow\varnothing\end{matrix}\right.\)
Vậy pt có nghiệm \((x,y,z,n)=(1,1,1,3);(1,2,3,1)\)
