Lời giải:
PT tương đương \((x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1-y^2)=0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ll} x=1 (1)\\ \\ x^4+x^3+x^2+x+1=y^2 (2) \end{array} \right.\)
Với $(1)$, ta thu được mọi $y\in\mathbb{Z}$ đều thỏa mãn bài toán. Nhận được cặp $(x,y)=(1,y)$
Với $(2)$:
PT tương đương \(4y^2=4x^4+4x^3+4x^2+4x+4\)
Dùng phương pháp kẹp ta có \((2x^2+x+2)^2\geq(2y)^2>(2x^2+x)^2\)
Do đó \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ll} (2y)^2=(2x^2+x+1)^2\\ \\ (2y)^2=(2x^2+x+2)^2 \end{array} \right.\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ll} 4(x^4+x^3+x^2+x+1)=(2x^2+x+1)^2\\ \\ 4(x^4+x^3+x^2+x+1)=(2x^2+x+2)^2 \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ll} x^2-2x+3=0\\ \\ 5x^2=0 \end{array} \right.\Rightarrow x=0\Rightarrow y=\pm 1\).
Ta có cặp \((x,y)=(0;1);(0;-1)\)
