Question

Tìm tất cả các số nguyên tố x,y thỏa mãn: x² + 165 = y²

Answer 1

x²+165=y²<=>x²-y²=165

<=>(x-y)(x+y)=-165

mà x,y là các số nguyên tố nên x-y<x+y

TH1:\(\left\{{}\begin{matrix}x+y=1\\x-y=-165\end{matrix}\right.\)=>x=-82;y=83(loại)

TH2:\(\left\{{}\begin{matrix}x+y=165\\x-y=-1\end{matrix}\right.\)=>x=82;y=83(loại)

TH3:\(\left\{{}\begin{matrix}x+y=15\\x-y=-11\end{matrix}\right.\)=>x=2;y=13(nhận)

TH4:\(\left\{{}\begin{matrix}x+y=55\\x-y=-3\end{matrix}\right.\)=>x=26;y=29(loại)

TH5:\(\left\{{}\begin{matrix}x+y=33\\x-y=-5\end{matrix}\right.\)=>x=14;y=19(loại)

TH6:\(\left\{{}\begin{matrix}x+y=11\\x-y=-15\end{matrix}\right.\)=>x=-2;y=13(loại)

TH7:\(\left\{{}\begin{matrix}x+y=3\\x-y=-55\end{matrix}\right.\)=>x=-26;y=29(loại)

TH8:\(\left\{{}\begin{matrix}x+y=5\\x-y=-33\end{matrix}\right.\)=>x=-14;y=19(loại)

vậy (x;y)=(2;13)

Answer 2

Ta có y² chia 4 dư 0 hoặc 1

Nếu y² chia hết cho 4 (1)

mà y là số nguyên tố (2)

Từ (1) và (2) => y = 2

có x² = 165 \(\ge165\)

=> y = 2 ko là n₀ pt => pt vô n₀

Nếu y² chia 4 dư 1

=> x² chia hết cho 4

=> x = 2 => y = 13 (TM)

Vậy (x, y) = (2, 13)