Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố a,b,c đôi một khác nhau thỏa mãn điều kiện.\(20abc< 30\left(ab+bc+ca\right)< 21abc\)

Asuna Kirito Kaya

7 tháng 12 2016 lúc 13:56

20abc < 30(ab + bc + ac) < 21abc <=> 2/3 < (ab + bc + ac) / abc < 7/10
<=> 2/3 < 1/a + 1/b + 1/c < 7/10
Gọi A là số nhỏ nhất, C là số lớn nhất trong 3 số nguyên tố a,b,c và B là số còn lại.Ta có
2/3 < 1/A + 1/B + 1/C < 7/10.Có các TH sau :
a) A = 2
..+B = 3 hoặc 5.Khi đó 1/A + 1/B +1/C > 7/10 (loại)
..+B = 7.Khi đó 1/A + 1/B = 1/2 + 1/7 = 9/14.Do đó 2/3 - 9/14 < 1/C < 7/10 - 9/14 hay 1/42 < 1/C < 2/35 => 17,5 < C < 42.Vì C là số nguyên tố nên C thuộc {19; 23; 29; 31; 37; 41}
..+B = 11.Khi đó 1/A + 1/B = 13/22.Do đó 2/3 - 13/22 < 1/C < 7/10 - 13/22 hay 5/66 < 1/C < 6/55 => 55/6 < C < 66/5.Vì C là số nguyên tố và A,B,C phân biệt nên C = 13
..+B >= 13.Khi đó 1/A + 1/B + 1/C <= 1/2 + 1/13 + 1/17 < 2/3 (loại)
b) A = 3
..+B = 5.Khi đó 1/A + 1/B = 8/15.Do đó 2/3 - 8/15 < 1/C < 7/10 - 8/15 hay 2/15 < 1/C < 1/6 => 6 < C < 15/2 => C =7
..+B >= 7.Khi đó 1/A + 1/B + 1/C <= 1/3 + 1/7 + 1/11 < 2/3 (loại)
c) A >= 5
...Khi đó 1/A + 1/B + 1/C <= 1/5 + 1/7 + 1/11 < 2/3 (loại)
Tóm lại có các TH sau
A = 2, B = 7, C = 19
A = 2, B = 7, C = 23
A = 2, B = 7, C = 29
A = 2, B = 7, C = 31
A = 2, B = 7, C = 37
A = 2, B = 7, C = 41
A = 2, B = 11, C = 13

A = 3, B = 5, C = 7
Ứng với mỗi TH lại có thể tìm được 6 bộ 3 số nguyên tố a,b,c khác nhau.Vd ứng với TH đầu tiên ta có
(a,b,c) = (2,7,19); (2,19,7); (7,2,19); (7,19,2); (19,2,7); (19,7,2)
Vậy có tất cả 48 bộ 3 số nguyên tố a,b,c thỏa mãn điều kiện đầu bài .

Đúng 1

Bình luận (1)

alibaba nguyễn

6 tháng 12 2016 lúc 9:31

Ta có

\(20abc< 30\left(ab+bc+ca\right)< 21abc\)

\(\Leftrightarrow\frac{2}{3}< \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}< \frac{7}{10}\)

Không mất tính tổng quát ta giả sử \(a< b< c\)

\(\Rightarrow\frac{2}{3}< \frac{3}{a}\Rightarrow a=\left(2,3\right)\)(vì a nguyên tố)

Thế lần lược các giá trị a vào rồi làm tương tự như bước trên sẽ tìm được b, c (nhớ loại giá trị không đúng nhé)

Vai trò a, b, c là như nhau nên các giá trị a, b, c có thể đổi vị trí cho nhau nên chú ý để không bỏ xót nghiệm nhé

Đúng 2

Bình luận (0)

Trần Văn Thành

6 tháng 12 2016 lúc 9:57

Từ giả thiết suy ra :

2/3<1/a+1/b+1/c<7/10

Không giảm tính tổng quát giả sử a>b>c>1a>b>c>1

Suy ra : 2 /3<3/ c⇒2c<9

Do đó c∈{2;3}c∈{2;3}

∙∙ Với c=2c=2 suy ra 2/3<1/2+1/a+1/b<7/10⇒1/6<1/a+1/b<1523<12+1a+1b<710⇒16<1a+1b<15 (1)

⇒16<2b⇒16<2b và ⇒1b<15⇒1b<15

Do đó b∈{7;11}b∈{7;11}

Với b=7b=7 từ (1) suy ra 142<1a<235⇒a∈{19,23,29,31,37,41}142<1a<235⇒a∈{19,23,29,31,37,41}

Với b=11b=11 từ (1) suy ra 566<1a<655⇒a=13566<1a<655⇒a=13 (do a>ba>b )

∙∙ Với c=3c=3 từ giả thiết suy ra

13<1a+1b<113013<1a+1b<1130 (*)

⇒13<2b⇒b<6⇒b=5⇒13<2b⇒b<6⇒b=5 (Do b>cb>c )

Thay b=5b=5 vào (*) ta có 6<a<152⇒a=76<a<152⇒a=7

Vậy ...............

nói chung là vào http://diendantoanhoc.net/topic/109893-t%C3%ACm-t%E1%BA%A5t-c%E1%BA%A3-c%C3%A1c-b%E1%BB%99-ba-s%E1%BB%91-nguy%C3%AAn-t%E1%BB%91-abc-%C4%91%C3%B4i-m%E1%BB%99t-kh%C3%A1c-nhau-th%E1%BB%8Fa-m%C3%A3n-%C4%91i%E1%BB%81u-ki%E1%BB%87n-20abc30abbcca21abc03/

Đúng 0

Bình luận (0)

ngonhuminh

6 tháng 12 2016 lúc 10:14

ừ nói chung thấy người khác làm rồi nên bổ xung nếu thiếu (nếu sai thì làm) thấy đúng rồi thì thôi, để người chưa hiểu vào xem đó loạn

Đúng 0

Bình luận (0)

Freya

6 tháng 12 2016 lúc 20:01

20abc < 30(ab + bc + ac) < 21abc <=> 2/3 < (ab + bc + ac) / abc < 7/10
<=> 2/3 < 1/a + 1/b + 1/c < 7/10
Gọi A là số nhỏ nhất, C là số lớn nhất trong 3 số nguyên tố a,b,c và B là số còn lại.Ta có
2/3 < 1/A + 1/B + 1/C < 7/10.Có các TH sau :
a) A = 2
..+B = 3 hoặc 5.Khi đó 1/A + 1/B +1/C > 7/10 (loại)
..+B = 7.Khi đó 1/A + 1/B = 1/2 + 1/7 = 9/14.Do đó 2/3 - 9/14 < 1/C < 7/10 - 9/14 hay 1/42 < 1/C < 2/35 => 17,5 < C < 42.Vì C là số nguyên tố nên C thuộc {19; 23; 29; 31; 37; 41}
..+B = 11.Khi đó 1/A + 1/B = 13/22.Do đó 2/3 - 13/22 < 1/C < 7/10 - 13/22 hay 5/66 < 1/C < 6/55 => 55/6 < C < 66/5.Vì C là số nguyên tố và A,B,C phân biệt nên C = 13
..+B >= 13.Khi đó 1/A + 1/B + 1/C <= 1/2 + 1/13 + 1/17 < 2/3 (loại)
b) A = 3
..+B = 5.Khi đó 1/A + 1/B = 8/15.Do đó 2/3 - 8/15 < 1/C < 7/10 - 8/15 hay 2/15 < 1/C < 1/6 => 6 < C < 15/2 => C =7
..+B >= 7.Khi đó 1/A + 1/B + 1/C <= 1/3 + 1/7 + 1/11 < 2/3 (loại)
c) A >= 5
...Khi đó 1/A + 1/B + 1/C <= 1/5 + 1/7 + 1/11 < 2/3 (loại)
Tóm lại có các TH sau
@ A = 2, B = 7, C = 19
@ A = 2, B = 7, C = 23
@ A = 2, B = 7, C = 29
@ A = 2, B = 7, C = 31
@ A = 2, B = 7, C = 37
@ A = 2, B = 7, C = 41
@ A = 2, B = 11, C = 13
@ A = 3, B = 5, C = 7
Ứng với mỗi TH lại có thể tìm được 6 bộ 3 số nguyên tố a,b,c khác nhau.Vd ứng với TH đầu tiên ta có
(a,b,c) = (2,7,19); (2,19,7); (7,2,19); (7,19,2); (19,2,7); (19,7,2)
Vậy có tất cả 48 bộ 3 số nguyên tố a,b,c thỏa mãn ĐK bài toán.