Đặt
S=1 +2+..+n
S=n+(n-1)+..+2+1
\(\Rightarrow\) 2S = n(n+1)
\(\Rightarrow\) S=n(n+1)/2
\(\Rightarrow\) aaa =n(n+1)/2
\(\Rightarrow\) 2aaa =n(n+1)
Mặt khác aaa =a.111= a.3.37
\(\Rightarrow\) n(n+1) =6a.37
Vế trái là tích 2 số tự nhiên liên tiếp
\(\Rightarrow\) a.6 =36
\(\Rightarrow\) a=6
(nêu a.6 =38 loại)
Vậy n=36, aaa=666
Từ \(1;2;....;n\) có n số hạng:
Suy ra: \(1+2+....+n=\frac{\left(n+1\right).n}{2}\)
Theo đề bài ta có:
\(1+2+3+...+n=\overline{aaa}\)
Suy ra: \(\frac{\left(n+1\right).n}{2}=\overline{aaa}=a.111=a.3.37\)
Suy ra: \(n\left(n+1\right)=2.3.37.a\)
Vì tích : \(n\left(n+1\right)\) chia hết cho số ngtố 37 nên n hoặc n + 1 chia hết cho 37
Vì số: \(\frac{\left(n+1\right).n}{2}\) có 3 chữ số suy ra \(n+1<74\) \(\Rightarrow n=37\) hoặc \(n+1=37\)
+ Với \(n=37\) thì: \(\frac{37.38}{2}=703\left(loại\right)\)
+ Với \(n+1=37\) thì \(\frac{36.37}{2}=666\) ( thỏa mãn )
Vậy a = 36 và a = 6 .Ta có: \(1+2+3+...+36=666\)
