Ồ, giờ mới để ý này giờ đọc nhầm đề là \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{2}\) ạ :D
Ta có:
\(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2-\left(\dfrac{2}{xy}+\dfrac{2}{yz}+\dfrac{2}{zx}\right)\)
\(=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2-\dfrac{2\left(x+y+z\right)}{xyz}\)
\(=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2-\dfrac{1}{xyz}\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2-\dfrac{1}{xyz}+\dfrac{1}{xyz}=4\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=2\) (do \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}>0\))
\(\Rightarrow\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{x+y+z}\)
\(\Rightarrow\dfrac{x+y}{xy}+\dfrac{1}{z}-\dfrac{1}{x+y+z}=0\)
\(\Rightarrow\dfrac{x+y}{xy}+\dfrac{x+y}{z\left(x+y+z\right)}=0\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{z}{z\left(x+y+z\right)}\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(\dfrac{xy+yz+zx+z^2}{xyz\left(x+y+z\right)}\right)=0\)
\(\Rightarrow\dfrac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{xyz\left(x+y+z\right)}=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-y\\y=-z\\z=-x\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(x^3+y^3\right)\left(y^{2013}+z^{2013}\right)\left(z^{3023}+x^{3023}\right)=0\)
Chắc em ghi nhầm đề (nhìn dữ kiện thứ 3 là biết, nó hoàn toàn không cần thiết khi đã có dữ kiện thứ nhất)
Ví dụ với \(x=-\dfrac{1}{2};y=z=\dfrac{4}{5}\) thỏa hết cả 3 dữ kiện mà tổng cuối có bằng 0 đâu
