Sử dụng tính chất của tứ giác nội tiếp và tam giác nội tiếp để làm Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O, R), ba đường cao AD, BE, CF giao nhau tại trực tâm H. Biết các tứ giác BCEF, ABDE, ACDF, AEHF, BDHF, CDHE là các tứ giác nội tiếp. Chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.
Vì BCEF là tứ giác nội tiếp, nên \(\widehat{EFC}=\widehat{EHF}\)(hai góc nội tiếp cùng chắn cung EC).
Vì ABDE là tứ giác nội tiếp, nên góc \(\widehat{EBD}=\widehat{EAD}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung ED).
Mà \(\widehat{EBC}=\widehat{EBD}\) (BE là đường cao)
.\(\widehat{EFC}=\widehat{EAD}\)
Lại có \(\widehat{EHF}=\widehat{EAD}\) (cùng phụ với\(\widehat{AEF}\)).
Vậy \(\widehat{EFC}=\widehat{EHF}\)
Do đó, HF là tia phân giác \(\widehat{DFE}\)
CMTT, ta có:
\(\widehat{HDE}=\widehat{HCE}\)(cùng phụ với \(\widehat{CDH}\)).
Mà \(\widehat{HCE}=\widehat{HBF}\) (cùng phụ với \(\widehat{CBF}\)).
\(\Rightarrow\) \(\widehat{HDE}=\widehat{HBF}\)
Lại có \(\widehat{HDF}=\widehat{HBF}\) (BFHD là tứ giác nội tiếp).
Vậy góc\(\widehat{HDE}=\widehat{HDF}\)
Do đó, DH là tia phân giác\(\widehat{EDF}\)
Vậy H là giao điểm của đường phân giác\(\widehat{DFE}\)và góc \(\widehat{EDF}\)
