Question

P là số nguyên tố lớn hơn 3. CM: P²-1 chia hết cho 24

Answer 1

Có: p² - 1 = p² + p - p - 1 = (p²+p) - (p+1) = p(p+1) - (p+1) = (p-1).(p+1)

p là số nguyên tố lớn hơn 3 => p-1 và p+2 là 2 số chẵn liên tiếp.=> (p-1)(p+1) \(⋮\) 8 (1)p là số nguyên tố lớn 3 => p có dạng 3k+1;3k+2

Với p = 3k+1 => (p-1)(p+1) = (3k+1-1)(3k+2+1) = 3k(p+1) \(⋮\) 3 (2)

Với p = 3k+2 => (p-1)(p+1) = (p-1)(3k+2+1) = (p-1)(k+1).3 \(⋮\) 3 (3)

Từ (1)(2)(3) => p² - 1 \(⋮\) 3;8

Mà (3;8) = 1 => p² - 1 \(⋮\) 24