Bài 3:
1: \(\text{Δ}=\left(-2\right)^2-4\left(m+2\right)=4-4m-8=-4m-4\)
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì Δ>0
=>-4m-4>0
=>m+1<0
=>m<-1
Theo Vi-et, ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=2\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m+2\end{matrix}\right.\)
Theo đề, ta có hệ:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\\x_1^2=x_2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x_1^2+x_1=2\)
=>\(\left(x_1+2\right)\left(x_1-1\right)=0\)
=>\(\left[{}\begin{matrix}x_1=-2\\x_1=1\end{matrix}\right.\)
TH1: \(x_1=-2\)
\(x_2=2-x_1=2-\left(-2\right)=4\)
\(x_1\cdot x_2=m+2\)
=>m+2=(-2)*4=-8
=>m=-10(nhận)
TH2: \(x_1=1\)
\(x_1+x_2=2\)
=>\(x_2=2-x_1=2-1=1\)
\(x_1x_2=m+2\)
=>m+2=1
=>m=-1(loại)
Bài 2 :
\(x^3+mx^2-x+m-m^2=0\left(1\right)\)
a) Ta lấy \(\dfrac{x^3+mx^2-x+m-m^2}{x-1+m}=x^2+x-m\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(x-1+m\right)\left(x^2+x-m\right)=0\)
\(\Rightarrow x=1-m\) luôn là nghiệm của \(\left(1\right),\forall m\) (theo định lý Bezout)
\(\Rightarrowđpcm\)
b) Theo đề bài ta có :
\(x_1^2+x_2^2+x_3^2=3\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2+x_3\right)^2-2\left(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1\right)=3\)
mà \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2+x_3=-m\\x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=-1\end{matrix}\right.\) (Theo Vi-ét)
\(\Leftrightarrow m^2+2=3\)
\(\Leftrightarrow m=\pm1\left(2\right)\)
Để \(\left(1\right)\) có 3 nghiệm phân biệt khi \(x^2+x-m=0\) có 2 nghiệm phân biệt
\(\Leftrightarrow\Delta=1+4m>0\)
\(\Leftrightarrow m>-\dfrac{1}{4}\) kết hợp với \(\left(2\right)\Rightarrow m=1\)
Vậy với \(m=1\) thỏa mãn đề bài
