Câu 2.
Ta có
lim khi x -> -∞ của [√(25x^2 - ax) + ³√(125x^3 + bx^2 + 5)] = 7/27
Xét từng biểu thức khi x -> -∞
Với căn bậc hai:
√(25x^2 - ax) = |x|√(25 - a/x)
Do x -> -∞ nên |x| = -x
Suy ra
√(25x^2 - ax) = -x√(25 - a/x)
= -5x√(1 - a/(25x))
= -5x(1 - a/(50x) + o(1/x))
= -5x + a/10 + o(1)
Với căn bậc ba:
³√(125x^3 + bx^2 + 5)
= x·³√(125 + b/x + 5/x^3)
= 5x·³√(1 + b/(125x) + 5/(125x^3))
= 5x(1 + b/(375x) + o(1/x))
= 5x + b/75 + o(1)
Cộng hai biểu thức:
√(25x^2 - ax) + ³√(125x^3 + bx^2 + 5)
= (-5x + a/10) + (5x + b/75) + o(1)
= a/10 + b/75 + o(1)
Theo giả thiết:
a/10 + b/75 = 7/27
Nhân cả hai vế với 150:
15a + 2b = 350/9
Cần tìm giá trị lớn nhất của ab với a, b > 0 và 15a + 2b = 350/9
Suy ra
b = (350/9 - 15a)/2
Khi đó
ab = a(350/9 - 15a)/2
Đây là tam thức bậc hai theo a, có hệ số a^2 âm nên đạt lớn nhất tại đỉnh
a = [350/9] / 30 = 35/27
Thay vào:
b = (350/9 - 15.35/27)/2
= (350/9 - 175/9)/2
= 175/18
Vậy
ab max = 35/27 . 175/18 = 6125/486
Suy ra
m = 6125, n = 486
m + n = 6611
Đáp án: 6611
Câu 3.
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang, AB // CD và AB = 2CD
M là trung điểm AB, N là trung điểm BC
E, G lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB và SBC
Mặt phẳng (α) đi qua EG và song song với DM, cắt SD tại K
Tính S tam giác EGK / S hình thang ABCD
Đặt hệ trục tọa độ:
A(0,0,0), B(2,0,0), D(0,h,0), C(1,h,0)
Khi đó AB = 2, CD = 1 nên đúng AB = 2CD
Lấy S(0,0,t), với t > 0
Tìm tọa độ các điểm:
M là trung điểm AB nên
M(1,0,0)
E là trọng tâm tam giác SAB nên
E = (S + A + B)/3 = (2/3, 0, t/3)
G là trọng tâm tam giác SBC nên
G = (S + B + C)/3 = (1, h/3, t/3)
Ta có
vec(EG) = (1/3, h/3, 0)
vec(DM) = (1, -h, 0)
Cả hai vectơ này đều có tọa độ z bằng 0 nên cùng nằm ngang
Do đó mặt phẳng (α) đi qua EG và song song DM là mặt phẳng song song với đáy, cụ thể là
z = t/3
Đường thẳng SD có tham số:
SD: (0,0,t) + u(0,h,-t)
=> điểm bất kỳ trên SD có tọa độ
(0, uh, t - ut)
Vì K thuộc (α), nên zK = t/3
t - ut = t/3
=> u = 2/3
Suy ra
K(0, 2h/3, t/3)
Bây giờ tính diện tích tam giác EGK
Ta có
vec(EG) = (1/3, h/3, 0)
vec(EK) = (-2/3, 2h/3, 0)
Diện tích tam giác EGK là
S_EGK = 1/2 |det(vec(EG), vec(EK))|
= 1/2 |(1/3)(2h/3) - (h/3)(-2/3)|
= 1/2 . 4h/9
= 2h/9
Diện tích hình thang ABCD là
S_ABCD = (AB + CD).chiều cao / 2
= (2 + 1).h / 2
= 3h/2
Vậy
S_EGK / S_ABCD = (2h/9) / (3h/2)
= 4/27
Đổi ra phần trăm:
4/27 ≈ 0,1481 = 14,81 phần trăm
Đáp án: 14,81 phần trăm
Câu 4.
Giải phương trình
sin2x - √3 sinx = 0 trên đoạn [0; 8π]
Biết tổng các nghiệm bằng aπ, tìm a
Ta có
sin2x = 2sinx cosx
Nên phương trình thành
2sinx cosx - √3 sinx = 0
sinx(2cosx - √3) = 0
Suy ra 2 trường hợp
Trường hợp 1:
sinx = 0
=> x = kπ
Trên [0; 8π], ta có
x = 0, π, 2π, 3π, 4π, 5π, 6π, 7π, 8π
Có 9 nghiệm, tổng là
(0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8)π = 36π
Trường hợp 2:
2cosx - √3 = 0
=> cosx = √3/2
=> x = 2kπ ± π/6
Trên [0; 8π], các nghiệm là
π/6, 11π/6, 13π/6, 23π/6, 25π/6, 35π/6, 37π/6, 47π/6
Ghép cặp:
π/6 + 11π/6 = 2π
13π/6 + 23π/6 = 6π
25π/6 + 35π/6 = 10π
37π/6 + 47π/6 = 14π
Tổng là
2π + 6π + 10π + 14π = 32π
Vậy tổng tất cả các nghiệm là
36π + 32π = 68π
Suy ra
a = 68
Đáp án: 68
giúp em câu 3 4 với ạ. Cần gấp
