Question

  Giúp vs ạ

Bài 9) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \( Oxy \), cho đường tròn \( (C): (x-1)^2 + (y+2)^2 = 25 \). Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn \( (C) \) biết:

a) Tiếp điểm \( M_0(-3;1) \).

b) Hoành độ tiếp điểm bằng 5.

c) Tung độ tiếp điểm bằng 2.

Answer 1

 

a: (C): \(\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2=25\)

=>Tâm là I(1;-2) và bán kính là R=5

\(IM_0=\sqrt{\left(-3-1\right)^2+\left(-2-1\right)^2}=5=R\)

I(1;-2); \(M_0\left(-3;1\right)\)

\(\overrightarrow{IM_0}=\left(-3-1;1+2\right)=\left(-4;3\right)\)

=>Vecto pháp tuyến là (3;4)

Phương trình tiếp tuyến là:

3(x-1)+4(y+2)=0

=>3x-3+4y+8=0

=>3x+4y+5=0

b: Gọi A(5;y) là tiếp điểm của (C)

=>\(IA^2=25\)

=>\(\left(5-1\right)^2+\left(y+2\right)^2=25\)

=>\(\left(y+2\right)^2=9\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}y+2=3\\y+2=-3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=1\\y=-5\end{matrix}\right.\)

=>A(5;1) hoặc A(-5;5)

TH1: A(5;1)

I(1;-2); A(5;1)

\(\overrightarrow{IA}=\left(5-1;1+2\right)=\left(4;3\right)\)

=>IA có vecto pháp tuyến là (-3;4)

Phương trình tiếp tuyến IA là 

-3(x-1)+4(y+2)=0

=>-3x+3+4y+8=0

=>-3x+4y+11=0

TH2: A(-5;5)

I(1;-2); A(-5;5)

\(\overrightarrow{IA}=\left(-5-1;5+2\right)=\left(-6;7\right)\)

=>IA có vecto pháp tuyến là (7;6)

Phương trình tiếp tuyến là 7(x-1)+6(y+2)=0

=>7x-7+6y+12=0

=>7x+6y+5=0

c: Gọi tiếp điểm là B(x;2)

I(1;-2); B(x;2)

Tung độ tiếp điểm bằng 2 nên \(IB^2=25\)

=>\(\left(x-1\right)^2+\left(2+2\right)^2=25\)

=>\(\left(x-1\right)^2=9\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x-1=3\\x-1=-3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=4\\x=-2\end{matrix}\right.\)

TH1: x=4

=>B(4;2)

I(1;-2); B(4;2)

\(\overrightarrow{IB}=\left(4-1;2+2\right)=\left(3;4\right)\)

=>IB có vecto pháp tuyến là (-4;3)

Phương trình tiếp tuyến IB là:

-4(x-1)+3(y+2)=0

=>-4x+4+3y+6=0

=>-4x+3y+10=0

TH2: x=-2

=>B(-2;2)

I(1;-2); B(-2;2)

\(\overrightarrow{IB}=\left(-2-1;2+2\right)=\left(-3;4\right)\)

=>IB có vecto pháp tuyến là (4;3)

Phương trình tiếp tuyến IB là:

4(x-1)+3(y+2)=0

=>4x-4+3y+6=0

=>4x+3y+2=0

Answer 2

a) Kiểm tra \(M\left(-3;1\right)\) có thuộc \(\left(C\right)\) hay không? Ta thay \(M\) vào \(\left(C\right)\)

\(\left(-3-1\right)^2+\left(1+2\right)^2=\left(-4\right)^2+3^2=25=R^2\left(Đúng\right)\)

\(\Rightarrow M\left(-3;1\right)\in\left(C\right)\)

\(\overrightarrow{IM}=\left(-4;3\right)\)

mà \(\overrightarrow{IM}\perp\left(\Delta\right)\) là tiếp tuyến của \(\left(C\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{u_{IM}}=\overrightarrow{n_{\Delta}}=\left(-4;3\right)\)

\(\Rightarrow\left(\Delta\right):-4\left(x+3\right)+3\left(y-1\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(\Delta\right):4x-3y+15=0\)

b) \(M\left(5;y\right)\in\left(C\right)\Leftrightarrow\left(5-1\right)^2+\left(y+2\right)^2=25\)

\(\Leftrightarrow\left(y+2\right)^2=9\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y+2=3\\y+2=-3\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=1\\y=-5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow M_1\left(5;1\right)\cup M_2\left(5;-5\right)\)

\(TH1:M_1\left(5;1\right)\)

\(\Rightarrow\left(\Delta\right):\left(5-1\right)\left(x-1\right)+\left(1+2\right)\left(y+2\right)=25\)

\(\Rightarrow\left(\Delta\right):4x+3y-23=0\)

\(TH2:M_2\left(5;-5\right)\)

\(\Rightarrow\left(\Delta\right):\left(5-1\right)\left(x-1\right)+\left(-5+2\right)\left(y+2\right)=25\)

\(\Rightarrow\left(\Delta\right):4x-3y-35=0\)

c) \(M\left(x;2\right)\in\left(C\right)\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+\left(2+2\right)^2=25\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2=9\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-1=3\\x-1=-3\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=4\\x=-2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow M_1\left(4;2\right)\cup M_2\left(-2;2\right)\)

Tương tự như câu b ta được

\(TH1:M_1\left(4;2\right)\Rightarrow\left(\Delta\right):3x+4y-20=0\)

\(TH2:M_1\left(-2;2\right)\Rightarrow\left(\Delta\right):3x-4y+14=0\)