a) Xét ▲ABD và ▲ACD có:
\(\widehat{BAD}=\widehat{CAD}\) (AD là đường phân giác của \(\widehat{BAC}\))
AB=AC (▲ABC cân tại A).
AD là cạnh chung.
=>▲ABD = ▲ACD (c-g-c)
=> BD=CD (2 cạnh tương ứng) hay D là trung điểm BC. (1)
\(\widehat{ADB}=\widehat{ADC}\) (2 góc tương ứng)
Mà \(\widehat{ADB}+\widehat{ADC}=180^0\) (kề bù)
=>\(\widehat{ADB}=\widehat{ADC}=\dfrac{180^0}{2}=90^0\)
=>AD⊥BC tại D (2)
- Từ (1) và (2) suy ra: AD là đường trung trực của BC.
b) Xét ▲AIF và ▲AIE có:
\(\widehat{FAI}=\stackrel\frown{EAI}\) (AI là đường phân giác của \(\widehat{FAE}\) )
AF=AE (gt)
AI là cạnh chung.
=>▲AIF = ▲AIE (c-g-c)
=>\(\widehat{AFI}=\widehat{AEI}\) (2 góc tương ứng)
Mà\(\widehat{AEI}=90^0\)(BE⊥AC tại E)
=>\(\widehat{AFI}=90^0\) hay IF⊥AB tại F.
c) Xét ▲ABC có:
AD là đường cao (AD⊥BC tại I)
BE là đường cao (BE⊥AC tại E)
AD cắt BE tại I (gt)
=> I là trực tâm của ▲ABC.
=>CI⊥AB mà IF⊥AB (cmt)
=>CI trùng với IF hay C,I,F thẳng hàng.
