Bài 10:
a: Xét ΔABM có EG//BM
nên \(\frac{AE}{EB}=\frac{AG}{GM}\)
=>\(\frac{BE}{AE}=\frac{MG}{AG}\)
b: Xét ΔANC có GF//NC
nên \(\frac{AF}{FC}=\frac{AG}{GN}\)
=>\(\frac{CF}{FA}=\frac{GN}{GA}\)
Xét ΔABC có
AD là đường trung tuyến
G là trọng tâm
Do đó: AG=2GD
Xét ΔDMB và ΔDNC có
\(\hat{DBM}=\hat{DCN}\) (hai góc so le trong, BM//CN)
DB=DC
\(\hat{BDM}=\hat{CDN}\) (hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔDMB=ΔDNC
=>DM=DN
=>D là trung điểm của MN
\(\frac{BE}{AE}+\frac{CF}{AF}=\frac{GM}{GA}+\frac{GN}{GA}=\frac{GM+GN}{GA}\)
\(=\frac{GM+GM+MN}{GA}=\frac{2GM+2MD}{GA}=\frac{2GD}{GA}=1\)
Bài 11:
Xét ΔOHB và ΔOKC có
\(\hat{OBH}=\hat{OCK}\) (hai góc so le trong, BH//CK)
OB=OC
\(\hat{HOB}=\hat{KOC}\) (hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔOHB=ΔOKC
=>OH=OK
=>O là trung điểm của HK
Xét ΔABC có
AO là đường trung tuyến
G là trọng tâm
Do đó: \(AG=\frac23AO\)
=>\(AO=1,5AG\)
Xét ΔABH có MG//BH
nên \(\frac{AM}{AB}=\frac{AG}{AH}\)
=>\(\frac{AB}{AM}=\frac{AH}{AG}\)
Xét ΔACK có GN//KC
nên \(\frac{AN}{AC}=\frac{AG}{AK}\)
=>\(\frac{AC}{AN}=\frac{AK}{AG}\)
\(\frac{AB}{AM}+\frac{AC}{AN}=\frac{AK}{AG}+\frac{AH}{AG}=\frac{AH+AH+HK}{AG}\)
\(=\frac{2AH+2HO}{AG}=\frac{2AO}{AG}=\frac{2\cdot1,5\cdot AG}{AG}=3\)
