Question

Giair hpt:

\(\left\{\begin{matrix}x+y=\sqrt{4z-1}\\y+z=\sqrt{4x-1}\\z+x=\sqrt{4y-1}\end{matrix}\right.\)

Answer 1

Lời giải:

ĐK \(x,y,z\geq \frac{1}{4}\)

\(\text{HPT}\Rightarrow 2(x+y+z)=\sqrt{4x-1}+\sqrt{4y-1}+\sqrt{4z-1}\)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :

\(\sqrt{4x-1}=\sqrt{(4x-1).1}\leq \frac{4x-1+1}{2}=2x\)

Tương tự với các biểu thức còn lại.....

\(\Rightarrow \sqrt{4x-1}+\sqrt{4y-1}+\sqrt{4z-1}\leq 2(x+y+z)\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} 4x-1=1\\ 4y-1=1\\ 4z-1=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{2}\\ y=\frac{1}{2}\\ z=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy HPT có nghiệm \((x,y,z)=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\)

Answer 2

x = y = z = 0,5