đkxđ: \(x,y,z\ge2\)
Biến đổi pt đầu tiên, ta được:
\(x+y-2=4\sqrt{z-2}\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)+\left(y-2\right)=4\sqrt{z-2}-2\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x-2}=a\\\sqrt{y-2}=b\\\sqrt{z-2}=c\end{matrix}\right.\) với \(a,b,c\ge0\) thì ta thu được:
\(a^2+b^2=4c-2\)
Lập 2 đẳng thức tương tự rồi cộng theo vế, ta được:
\(2\left(a^2+b^2+c^2\right)=4\left(a+b+c\right)-6\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+3=2a+2b+2c\) (*)
Mà lại có \(a^2+1\ge2a\) \(\Rightarrow\) \(a^2+b^2+c^2+3\ge2a+2b+2c\)
Nên để (*) xảy ra thì \(a=b=c=1\) \(\Leftrightarrow x=y=z=3\)
Vậy hpt đã cho có nghiệm \(\left(x,y,z\right)=\left(3,3,3\right)\)