năm nay mới lên lớp năm đợi năm lên lớp 9 giải cho
Ta có: \(2x^2-2xy-y^2+2=2y-4x\)
\(\Leftrightarrow-y^2+2\left(x^2+2x+1\right)-2y\left(x+1\right)\)
\(\Leftrightarrow-y^2-2y\left(x+1\right)+2\left(x+1\right)^2=0\)(1)
Coi (1) là phương trình bậc 2 của y ta tính được \(\orbr{\begin{cases}y=-\left(x+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)\\y=\left(x+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)\end{cases}}\)
VỚI: \(y=-\left(x+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)\).
Điều kiện có nghiệm của hệ phương trình là: \(\hept{\begin{cases}x^2-2y^2\ge0\\\left(2x+1\right)\left(2y-2\right)\ge0\\x+y\ge0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x\ge\frac{-1}{2}\\y\ge1\end{cases}}\)
hoặc \(\hept{\begin{cases}-1\le x\le\frac{-1}{2}\\\frac{-1}{2}\le y< 1\end{cases}}\)
Ta có: \(x+y=x-\left(1+\sqrt{3}\right)\left(x+1\right)=-\sqrt{3}x-\sqrt{3}-1=-\sqrt{3}\left(x+1\right)-1< 0\) với x thuộc cả hai Trường hợp nên hệ vô nghiệm với trường trường này.
Trường hợp 2: \(y=\left(x+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)\)
Ta có: \(x^2-2y^2=x^2-2\left(\sqrt{3}-1\right)^2\left(x+1\right)^2=\left(x-\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)\left(x+1\right)\right)\left(x+\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)\left(x+1\right)\right)\)
Ta có: \(x+y=x+\left(\sqrt{3}-1\right)\left(x+1\right)=\sqrt{3}x-1\ge0\Leftrightarrow x\ge\frac{\sqrt{3}}{3}\)
Khi đó : \(x^2-2y^2=x^2-2\left(\sqrt{3}-1\right)^2\left(x+1\right)^2\)
\(=\left(x-\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)\left(x+1\right)\right)\left(x+\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)\left(x+1\right)\right)\)(*)
Với \(x\ge\frac{\sqrt{3}}{3}\)thì \(\left(x+\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)\left(x+1\right)\right)>0\).(1)
Ta có: \(x-\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)\left(x+1\right)=x\left(1+\sqrt{2}-\sqrt{6}\right)-\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)\).
Do \(1+\sqrt{2}-\sqrt{6}< 0\)nên hàm số: \(y=\left(1+\sqrt{2}-\sqrt{6}\right)-\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)\)nghịch biến trên R.
\(y\left(-1\right)=\left(1+\sqrt{2}-\sqrt{6}\right)\left(-1\right)-\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)=-1\).
Với \(x\ge\frac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow y\left(x\right)< y\left(-1\right)< 0\)(2)
Kết hợp (1) và (2) suy ra (*) < 0 nên trường hợp này loại.
Vậy hệ phương trình vô nghiệm.
