Question

Giả sử hàm  f có đạo hàm cấp n trên R, n ∈ N *  và f ( 1 - x ) + x 2 f ' ' ( x ) = 2 x với mọi x ∈ ℝ . Tính tích phân I = ∫ 0 1 x f ' ( x ) d x   

A. I=1

B. I=-1

C. I= 1 3

D. I= - 1 3

Answer 1

f ( 1 - x ) + x 2 f ' ' ( x ) = 2 x 1  

Thay x=0 vào (1) ta được f(1)=0 

Đạo hàm hai vế của (1) ta có - f ' ( 1 - x ) + 2 x f ' ' ( x ) + x 2 f ' ' ' ( x ) = 2 2  

Thay x=0 vào (2) ta được f'(1)=2

Mặt khác, lấy tích phân hai vế cận từ 0 đến 1 của (1) ta có:

∫ 0 1 f ( 1 - x ) d x + ∫ 0 1 x 2 f ' ' ( x ) d x = ∫ 0 1 2 x d x

⇔ - ∫ 0 1 f ( 1 - x ) d ( 1 - x ) + f ' ( 1 ) - 2 ∫ 0 1 x f ' ( x ) d x = 1 ⇔ ∫ 0 1 f ( x ) d x - 2 ∫ 0 1 x f ' ( x ) d x = 3

Đặt ∫ 1 f ( x ) d x = I 1 . Vì

∫ 0 1 x f ' ( x ) d x = f ( 1 ) - ∫ 0 1 f ( x ) d x = - ∫ 0 1 f ( x ) d x

nên ta có hệ: I 1 - 2 I = 3 I = - I 1 ⇔ I 1 = 1 I = - 1  

Vậy I=-1

Chọn đáp án B.