a: Thay m=5 vào (d), ta được:
\(y=\left(5-1\right)x+1+5=4x+6\)
Phương trình hoành độ giao điểm là:
\(2x^2=4x+6\)
=>\(x^2=2x+3\)
=>\(x^2-2x-3=0\)
=>(x-3)(x+1)=0
=>\(\left[{}\begin{matrix}x=3\\x=-1\end{matrix}\right.\)
Khi x=3 thì \(y=2\cdot3^2=18\)
Khi x=-1 thì \(y=2\cdot\left(-1\right)^2=2\)
Vậy: (P) giao (d) tại A(3;18); B(-1;2)
b: Phương trình hoành độ giao điểm là:
\(2x^2=\left(m-1\right)x+m+1\)
=>\(2x^2-\left(m-1\right)x-m-1=0\)
\(\Delta=\left[-\left(m-1\right)\right]^2-4\cdot2\cdot\left(-m-1\right)\)
\(=m^2-2m+1+8m+8\)
\(=m^2+6m+9=\left(m+3\right)^2>=0\forall m\)
=>(P) luôn cắt (d)
Theo Vi-et, ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=\dfrac{m-1}{2}\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{-m-1}{2}\end{matrix}\right.\)
\(y_1+y_2=4\)
=>\(2\left(x_1^2+x_2^2\right)=4\)
=>\(x_1^2+x_2^2=2\)
=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=2\)
=>\(\left(\dfrac{m-1}{2}\right)^2-2\cdot\dfrac{-m-1}{2}=2\)
=>\(\dfrac{1}{4}\left(m^2-2m+1\right)+m+1=2\)
=>\(\dfrac{1}{4}\left(m^2-2m+1\right)+m-1=0\)
=>\(\dfrac{1}{4}\left(m-1\right)^2+\left(m-1\right)=0\)
=>\(\left(m-1\right)^2+4\left(m-1\right)=0\)
=>(m-1)(m-1+4)=0
=>(m-1)(m+3)=0
=>\(\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=-3\end{matrix}\right.\)
a)
Với m = 5 PT(d) có dạng \(y=\left(5-1\right)x+1+5=4x+6\)
Xét PT hoành độ giao điểm (P) và (d) có:
\(2x^2=4x+6\Leftrightarrow x^2-2x-3=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(x+1\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\\x=-1\end{matrix}\right.\)
Thay x= 3 vào (P) có:
\(y=2\cdot3^2=18\)
Thay x = -1 vào (P) có:
\(y=2\cdot\left(-1\right)^2=2\)
Vậy (d) cắt (P) tại 2 điểm (3;18) và (-1;2) với m = 5
b) Xét PT hoành độ giao điểm (P) và (d) có:
\(2x^2=\left(m-1\right)x+1+m\)
\(\Leftrightarrow2x^2-\left(m-1\right)x-1-m=0\) (1)
\(\Delta=\left[-\left(m-1\right)\right]^2-4\cdot2\cdot\left(-1-m\right)=m^2-2m+1+8+8m=m^2+6m+9=\left(m+3\right)^2\ge0\forall m\)
\(\rightarrow\) PT(1) luôn có nghiệm
\(\rightarrow\) (d) luôn cắt (P) với mọi m
Theo Vi-ét , \(a-b+c=2+m-1-1-m=0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=-1\\x_2=\dfrac{m+1}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y_1=2\\y_2=2\left(\dfrac{m+1}{2}\right)^2=\dfrac{\left(m+1\right)^2}{2}\end{matrix}\right.\)
Theo đề bài \(y_1+y_2=4\)
\(\Leftrightarrow2+\dfrac{\left(m+1\right)^2}{2}=4\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(m+1\right)^2}{2}=2\)
\(\Leftrightarrow\left(m+1\right)^2=4\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m+1=2\\m+1=-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=-3\end{matrix}\right.\)
