Đáp án B.
Phương pháp:
Hàm số y = f x nghịch biến trên khoảng a ; b ⇔ f ' x ≤ 0 , ∀ x ∈ a ; b , bằng 0 tại hữu hạn điểm trên a ; b .
Cách giải:
y = x 3 − 3 m + 2 x 2 + 3 m 2 + 4 m x + 1 ⇒ y ' = 3 x 2 − 6 m + 2 x + 3 m 2 + 4 m
Hàm số
y = x 3 − 3 m + 2 x + 3 m 2 + 4 m x + 1
nghịch biến trên khoảng 0 ; 1 ⇔ f ' x ≤ 0 , ∀ x ∈ 0 ; 1 , bằng 0 tại hữu hạn điểm trên (0; 1).
⇔ 3 x 2 − 6 m + 2 x + 3 m 2 + 4 m ≤ 0 , ∀ x ∈ 0 ; 1 ,
bằng 0 tại hữu hạn điểm trên (0;1).
Xét phương trình
⇔ 3 x 2 − 6 m + 2 x + 3 m 2 + 4 m = 0 *
Δ ' = 9 m + 2 2 − 3.3 m 2 + 4 m = 36 > 0 , ∀ m ⇒
Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt x 1 , x 2
Để hàm số nghịch biến trên khoảng (0;1) thì x 1 ≤ 0 < 1 ≤ x 2
⇔ x 1 x 2 ≤ 0 1 − x 1 1 − x 2 ≤ 0 ⇔ x 1 x 2 ≤ 0 1 + x 1 x 2 − x 1 + x 2 ≤ 0 ⇔ m 2 + 4 m ≤ 0 1 + m 2 + 4 m − 2 m − 4 ≤ 0
⇔ − 4 ≤ m ≤ 0 − 3 ≤ m ≤ 1 ⇔ − 3 ≤ m ≤ 0
Mà m ∈ Z ⇒ m ∈ − 3 ; − 2 ; − 1 ; 0 ⇒
Có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn.
